Глава 20. Устойчивость сжатых элементов Конструкций

20.1. Понятие о критической силе для сжатого стержня.
Формула Эйлера.

Из физики известно, что равновесие тела, устойчиво, если при малом отклонении от равновесного положения возникает сила или пара сил, возвращающая его в положение равновесия. Кроме устойчивого, известны также неустойчивое и безразличное равнове­сия, но для механических конструкций допустимы лишь случаи устойчивого равновесия. Если по каким-либо причинам упругое те­ло или конструкция при отклонении от равновесного положения не возвращается к исходному, то говорят, что произошла потеря устойчивости.

Явление потери устойчивости упругого тела рас­смотрим на примере сжатого стержня. Представим, что на прямолинейный стальной стержень, зажатый одним концом в вертикальном положении (рис. 20.1 а) сверху надет шар. При небольшом значении силы тя­жести G₁, сжимающей стержень, он сохраняет прямолинейную форму и находится в устойчивом равновесии.

Действительно, если отклонить шар вместе с верхней частью стержня в сторону, то под действием упругих сил стержень, поколебавшись около положения равно­весия, снова примет прямолинейную форму. Постепенно увеличивая сжимающую нагрузку путем установки более тяжелых шаров (рис. 20.1 б), увидим, что стержень хотя и сохраняет прямолинейную форму, но при отклонении от положения равновесия возвращается в исходное положение гораздо медленнее. Наконец, при некоторой нагрузке G₃ (рис. 20.1.в) стержень изогнется, и прямолинейная форма устойчивого равновесия переходит в но­вую, криволинейную форму устойчивого равновесия.

Если теперь стержень принудительно выпрямить или, наоборот, изогнуть еще больше, он после нескольких колебаний займет исходное равновесное положение в изогнутом состоянии.

Максимальная сжимающая нагрузка , при которой прямоли­нейная форма стержня устойчива, называется критической силой.

Смысл расчета на устойчивость сжатого стержня заключается в том, чтобы он при некотором значении F осевой нагрузки со­хранял устойчивость прямолинейной формы и обладал при этом не­которым запасом устойчивости (рис. 20.2).

(20.1)

Условие устойчивости сжатого стержня;

(20.2)

– коэффициент запаса устойчивости.

Задачу определения критической силы впервые чисто матема­тически решил Л.Эйлер в 1744 г. Формула Эйлера имеет вид

(20.3)

где – минимальное значение момента инерции площадки попе­речного сечения стержня, так как потеря устойчивости происходит в плоскости наименьшей жесткости; –длина стержня.

Экспериментальные исследования, связанные с проверкой формулы Эйлера, показывают, что при прочих равных условиях (одинаковые материал, форма и раз­меры поперечного сечения, а также длина стержня) значение критической силы зависит от способа за­крепления его концов.

– коэффициент приведения длины, т.е. число, показывающее, во сколько раз следует увеличить дли­ну шарнирно закрепленного с обоих концов стержня, чтобы критическая сила для него была равна крити­ческой силе стержня в данных условиях закрепления.

Изображены несколько случаев закрепления (рис. 20.3) стержня и указаны соответствующие значе­ния коэффициента приведения : а) оба конца шарнирно закреплены; б) один конец жестко закреплен, другой – свободен; в) один конец закреплен шарнирно, второй имеет "плавающую" заделку; г) один конец заделан жестко, второй имеет "плавающую" заделку; д) оба конца заделаны жестко; е) один конец заделан жестко, другой за­креплен шарнирно.

20.2. Критическое напряжение.
Пределы применимости формулы Эйлера.

При осевом нагружении стержня в его поперечных сечениях возникают нормальные напряжения сжатия, которые возрастают по мере увеличения нагрузки. Нормальные на­пряжения, соответствующие критической си­ле, называются критическими:

(20.4)

после подстановки значения критической силы из формулы (20.3) получим:

(20.5)

Линейную величину называют минимальным радиусом инерции сечения.

Таким образом, и последняя формула прини­мает вид

или

Безразмерная величина называется гибкостью стержня. Она характеризует сопротивляемость стержня потере устойчивости; с увеличением гибкости уменьшается сопротивляемость стержня потере устойчивости. Заметим, что гибкость . стержня не зависит от материала стержня, а определяется его длиной, формой и размерами сечения.

Определяя значение критической силы, Эйлер исходил из рас­смотрения упругой линии изогнутого стержня, поэтому формула

(20.6)

справедлива только в пределах применимости закона Гука, иначе говоря, до тех пор, пока критическое напряжение не превышает предела пропорциональности материала стержня, т.е. при условии

(20.7)

Отсюда:

Стоящая в правой части неравенства постоянная для данного материала безразмерная величина называется предельной гибкостью:

(20.8)

Применимость формулы Эйлера определяется условием

(20.9)

Формула Эйлера применима только в тех случаях, когда гиб­кость стержня больше или равна предельной гибкости того мате­риала, из которого он изготовлен. Как правило, многие конструкции имеют стержни с гибкостью меньше предельной.