Способы задания движения точки

Существует три способа: естественный, координатный, векторный.

Естественный способ задания движения точки. Если кроме траектории, на которой отмечено начало отсчета O, задана зависимость

между расстоянием S и временем t, это уравнение называется законом движения точки по заданной траектории.

Пример:

Пусть, например, задана некоторая траектория, движение точки по которой определяется уравнением . Тогда в момент времени , т.е. точка находится в начале отсчета O; в момент времени точка находится на расстоянии ; в момент времени точка находится на расстоянии от начала отсчета O.

Координатный способ задания дви­жения точки. Когда траектория точки заранее не известна, положение точки в пространстве определяется тремя координатами: абсциссой X, ординатой Yи аппликатой Z.

или , исключив время.

Эти уравнения выражают закон движения точки в прямоугольной системе координат (OXYZ).

В частном случае, если точка движется в плоскости, закон движения точки выражается двумя уравнениями: или .

Например. Движение точки в плоской системе координат задано уравнениями и (X и Y – см, t – с). Тогда в момент времени и , т.е. точка находится в начале координат; в момент времени координаты точки , ; в момент времени координаты точки , и т.д.

Зная закон движения точки в прямоугольной системе координат, можно определить уравнение траектории точки.

Например, исключив время t из заданных выше уравнений и , получим уравнение траектории . Как видим, в этом случае точка движется по прямой, проходящей через начало координат.

6.3. Определение скорости точки при естественном способе
задания ее движения

Пусть движение точки А по заданной траектории происходит согласно уравнению , требуется определить скорость точки в момент времени t.

За промежуток времени точка прошла путь , значение средней скорости на этом пути

,

но оно отличается от значения скорости в момент времени t. Скорость в заданный момент t

,

т.е. значение скорости точки, движение которой задано естественным способом, в любой момент времени равно первой производной от расстояния (дуговой координаты) по времени.

Направление скорости, как отмечалось выше, известно заранее.

6.4. Определение ускорения точки при естественном способе
задания ее движения

Вектор – ускорение точки в данный момент – есть геометри­ческая сумма касательного и нормального ускорений:

Вектор в любой момент времени направлен по касательной, поэтому вектор называется касательным, илитангенциальным ускорением. Модуль касательного ускорения

,

равный производной от скорости в данный момент по времени или, иначе, второй производной от расстояния по времени, характеризует быстроту изменения значения скорости.

Доказано, что вектор в любой момент времени перпендикулярен касательной, поэтому он называется нормальным ускорением.

Значит, модуль нормального ускорения пропорционален второй степени модуля скорости в данный момент, обратно пропорционален радиусу кривизны траектории в данной точке и характеризует быстроту изменения направления скорости.

Модуль ускорения

,

а направление a (угол ) находим с помощью тригонометрических функций по одной из следующих формул:

.

Если векторы и направлены в одну и ту же сторону, то движение точки называется ускоренным. При этом зна­чения и имеют одинаковые знаки ( или ). Если же векторы и направлены в противоположные стороны, то движение точки называется замедленным. В этом случае знаки и разные ( или ).