Если свободная составляющая неограниченно возрастает, т.е. если

,

то система неустойчива.

Наконец, если свободная составляющая не стремится ни к нулю, ни к бесконечности, то система находится на границе устойчивости.

Найдем общее условие, при котором система, описываемая уравнением (*), устойчива. Решение уравнения (*) равно сумме

где C_k – постоянные, зависящие от начальных условий; p_k – корни характеристического уравнения

.

Корни данного уравнения могут быть действительными (p_k=a_k), мнимыми (p_k=jb_k) и комплексными (p_k=a_k± jb_k).

Переходная составляющая (**) при t®¥ стремится к нулю лишь в том случае, если каждое слагаемое вида . Характер этой функции времени зависит от вида корня p_k. Рассмотрим все возможные случаи расположения корней p_k на комплексной плоскости (см. рис. 67) и соответствующие им функции x_k(t), которые показаны внутри кругов (как на экране осциллографа).

Рисунок 67

1. Каждому действительному корню p_k=a_k в решении (**) соответствует слагаемое вида

Если a_k<0 (корень р₁), то функция (***) при t®¥ стремится к нулю. Если a_k>0 (корень р₃), то функция (***) неограниченно возрастает. Если a_k=0 (корень р₂), то функция (***) остается постоянной.

2. Каждой паре сопряженных комплексных корней p_k=a_k± jb_k в решении (**) соответствуют два слагаемых, объединенных в одно

Эта функция представляет собой синусоиду с частотой b_k и амплитудой, изменяющейся во времени по экспоненте. Если действительная часть двух комплексных корней a_k<0 (корни р₄ и р₅), то колебательная составляющая (****) будет затухать. Если a_k>0 (корни р₈ и р₉), то амплитуда колебаний будет неограниченно возрастать. Наконец, если a_k=0 (корни р₆ и р₇), т.е. если оба сопряженных корня – мнимые (p_k=+ jb_k, p_k+1=- jb_k), то x_k(t) представляет собой незатухающую синусоиду с частотой b_k.

Общее условие устойчивости. Для устойчивости линейной автоматической системы управления необходимо и достаточно, чтобы действительные части всех корней характеристического уравнения системы были отрицательны.

При этом действительные корни рассматриваются как частный случай комплексных корней, у которых мнимая часть равна нулю. Если хотя бы один корень имеет положительную действительную часть, то система будет неустойчивой.

Устойчивость системы зависит только от вида корней характеристического уравнения и не зависит от характера внешних воздействий на систему. Устойчивость есть внутреннее свойство системы, присущее ей вне зависимости от внешних условий.

Используя геометрическое представление корней на комплексной плоскости (см. рис. 67) в виде векторов или точек, можно дать вторую формулировку общего условия устойчивости (эквивалентную основной): для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения находились в левой полуплоскости. Если хотя бы один корень находится в правой полуплоскости, то система будет неустойчивой.

Мнимая ось jb является границей устойчивости в плоскости корней. Если характеристическое уравнение имеет одну пару чисто мнимых корней (p_k=+jb_k, p_k+1=-jb_k), а все остальные корни находятся в левой полуплоскости, то в системе устанавливаются незатухающие гармонические колебания с круговой частотой . В этом случае говорят, что система находится на колебательной границе устойчивости.

Точка b = 0 на мнимой оси соответствует так называемому нулевому корню. Если уравнение имеет один нулевой корень, то система находится на апериодической границе устойчивости. Если таких корня два, то система неустойчива.

10.2 Алгебраические критерии устойчивости. Критерий Рауса-Гурвица.

Необходимое условие устойчивости: положительность всех коэффициентов характеристического уравнения.

Критерий Гурвица.