Рассмотрим характеристическое уравнение системы

p=jw - придаем чисто мнимое значение.

Для того чтобы система была устойчивой, необходимо, чтобы суммарный угол поворота векторов р-р_i составлял угол pn.

В характеристическом уравнении заменяем р на jw. Тогда получим функцию комплексного переменного:

,

которую можно так же, как амплитудно-фазовую характеристику, представить в виде суммы действительной и мнимой частей:

.

Действительная часть Re(w) содержит только четные степени переменного w:

,

а мнимая часть Im(w) – только нечетные:

Действительная часть характеристического уравнения является функцией четной, а мнимая часть – нечетной.

Поэтому достаточно ограничиться построением кривой, соответствующей характеристическому полиному для положительных частот. Тогда кривая, соответствующая отрицательным частотам является зеркальным отражением кривой для положительных частот относительно оси абсцисс.

Каждому фиксированному значению переменного w соответствует комплексное число, которое можно изобразить в виде вектора на комплексной плоскости. Если теперь изменять параметр w от 0 до ¥, то конец вектора D(jw) опишет некоторую линию, которая называется характеристической кривой или годографом Михайлова. По виду этой кривой можно судить об устойчивости системы.

Формулировка критерия Михайлова.

Автоматическая система управления, описываемая уравнением п-го порядка будет устойчивой, если при изменении частоты от 0 до ¥ характеристический вектор системы (годограф Михайлова) повернется против часовой стрелки на угол , не обращаясь при этом в нуль.

Это означает, что характеристическая кривая устойчивой системы должна при изменении w от 0 до ¥ пройти последовательно через n квадрантов. Кривая D(jw) для устойчивой системы всегда начинается в точке на действительной оси, удаленной от начала координат на величину (рис. 70).

Рисунок 70

На рисунке 70, а изображен вектор D(jw), называемый характеристической кривой или годографом Михайлова. Характеристические кривые, соответствующие устойчивым системам (рисунок 70, б), имеют плавную спиралеобразную форму и уходят в бесконечность в том квадранте, номер которого равен порядку уравнения. Если характеристическая кривая проходит п квадрантов не последовательно или проходит меньшее число квадрантов, то система неустойчива (рисунок 70, в).

В практических расчетах удобно применять следствие из критерия Михайлова.

Система устойчива, если действительная и мнимая части характеристической функции D(jw) обращаются в нуль поочередно (см. рисунок 70, г), т.е. если корни уравнений Re(w)=0 и Im(w)=0 перемежаются и Re(0) > 0 и Im¢(0) > 0.

Следствие из критерия Михайлова позволяет установить устойчивость системы невысокого порядка аналитически, без построения годографа.

11.3 Критерий устойчивости Найквиста.

Критерий Найквиста был сформулирован в 1932 г. американским физиком X. Найквистом. В отличие от критериев Гурвица, Рауса и Михайлова, которые основаны на анализе характеристического уравнения системы, критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой характеристике разомкнутого контура системы.

В этом заключается существенное преимущество критерия, т.к. построение АФХ разомкнутого контура для большинства реальных систем оказывается проще, чем построение годографа Михайлова. Особенно упрощается это построение для одноконтурных систем, состоящих из типовых звеньев.

Имеется САУ (рис. 71):

здесь D_p(jw) – частотное характеристическое уравнение разомкнутой системы.

Рисунок 71

Найквист в своем критерии рассматривает вспомогательную функцию, определяемую по формуле

.

Примечание: Возьмем абстрактное комплексное число

.

Модуль этого числа будет равен произведению модулей каждого из множителей, а аргумент этого числа – сумме каждого из слагаемых.

.

Причем .

Рассмотрим два случая.

1. Система в разомкнутом состоянии устойчива, это значит по Михайлову:

,

где п – порядок разомкнутой системы.

Частотное характеристическое уравнение замкнутой системы также имеет порядок п, т.к. порядок числителя разомкнутой системы всегда меньше или равен порядку знаменателя разомкнутой системы ( ).

Если система в замкнутом состоянии тоже устойчива, то угол одинаковый

.

Рассмотрим изменения аргумента при изменении частоты от 0 до ¥:

.

Система в замкнутом состоянии будет устойчива, если изменение аргумента функции при изменении частоты от 0 до ¥ составит ноль. Это возможно только в том случае, когда годограф не охватывает точку начала координат (рис. 72, а). Но если рассматривать годограф функции , то этому соответствует случай, когда не охватывается точка (-1; ј0) (рис. 72, б).

Рисунок 72

Критерий Найквиста для первого случая: замкнутая система будет устойчивой, если годограф разомкнутой системы не пересекает отрезок (-¥;-1], т.е. не охватывает критическую точку (-1;0).

Употребленное в формулировке критерия Найквиста понятие охвата точки имеет некоторую неопределенность, из-за чего в случаях сложной формы кривой W(јω) могут возникнуть затруднения в суждении об устойчивости системы. Поэтому для суждения об устойчивости систем, имеющих АФЧХ сложной конфигурации, когда кривая АФЧХ пересекает действительную ось левее точки с координатами (-1; ј0) несколько раз, можно также использовать правило переходов, сформулированное советским ученым Я. 3. Цыпкиным: АФЧХ не охватывает точку (-1; ј0), если при возрастании w разность между числом положительных (сверху вниз) и отрицательных (снизу вверх) переходов АФЧХ через ось абсцисс слева от точки (-1; ј0) равна нулю.

На рисунке 73, а изображен годограф системы, устойчивой в замкнутом состоянии, а на рисунке 73, б – системы, находящейся на границе устойчивости.

Рисунок 73

Система находится на границе устойчивости, если годограф, соответствующий амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы хотя бы один раз пересечет точку [-1;0].

2. Разомкнутая система неустойчива.

Разомкнутая система неустойчива, это значит, что изменение аргумента представляется формулой:

,

где m – количество корней характеристического уравнения разомкнутой системы, находящихся в правой полуплоскости.

У замкнутой системы изменение аргумента при изменении частоты от 0 до ¥:

для устойчивой системы.

Изменение аргумента вспомогательной функции составит:

.

Тогда критерий Найквиста звучит так: если система неустойчива в разомкнутом состоянии и имеет m положительных корней характеристического уравнения, то система в замкнутом состоянии будет устойчива лишь в том случае, если годограф разомкнутой системы охватывает точку (-1; ј0) в положительном направлении m раз, или, используя правило переходов: разность между количеством положительных переходов и количеством отрицательных переходов отрезка действительной оси будет равна .

Объединяя два случая, можно дать следующее определение критерия Найквиста.

Система в замкнутом состоянии будет устойчива, если разность между числами положительных и отрицательных переходов годографа АФЧХ разомкнутой системы на отрезке действительной оси будет равна , где т – количество правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

Если АФЧХ начинается или заканчивается на отрезке ( -∞; -1), то считают, что характеристика совершает полперехода.

Рекомендованная литература по лекции: [6].

Лекция 12 «Синтез линейных систем автоматического управления»

Все математические задачи, решаемые в теории автоматического управления, можно объединить в два больших класса – задачи анализа и задачи синтеза автоматических систем.

В задачах анализа полностью известна структура системы, заданы все (как правило) параметры системы, и требуется оценить какое-либо ее статистическое или динамическое свойство. К задачам анализа относятся расчет точности в установившихся режимах, определение устойчивости, оценка качества системы.

Задачи синтеза можно рассматривать как обратные задачам анализа: в них требуется определить структуру и параметры системы по заданным показателям качества. Простейшими задачами синтеза являются, например, задачи определения передаточного коэффициента разомкнутого контура по заданной ошибке или условию минимума интегральной оценки.

Под синтезом линейных САУ понимается выбор такой структурной схемы, ее параметров, характеристик, которые отвечают с одной стороны заданным показателям качества и простоты технической реализации и надежности с другой стороны.