Практические задания

Решение.

Обозначим координаты точки D через . По условию и по определению двойного отношения

Получим

Координаты и не могут одновременно равняться нулю.

Если, например, , то можно разделить числитель и знаменатель дроби на . Получим

Решив это уравнение относительно , получим численное значение = .

Тогда координаты точки D будут =

Замечание. Если , то можно делить на и решать аналогично.

5. На проективной плоскости дано двойное отношение четырех точек и координаты трех из них. Найти координаты четвертой точки, если (AB,CD)= -1, A , B , C . Проверитьколлинеарность точек A, B, C.

Решение

1) Проверим коллинеарность точек А, В, С.

Точки A , B , C порождаются векторами a , b , c . Точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда векторы a, b, c линейно зависимы. Чтобы установить это или опровергнуть, проверим равенство или соответственно неравенство нулю определителя

.

Если определитель равен нулю, то точки коллинеарны. В противном случае неколлинеарны.

2) При условии что точки коллинеарны, найдем координаты четвертой точки D.

Замечание. Эту задачу нельзя решать как предыдущую, так как нам известны не две, а три координаты точек. Для формул же двойного отношения точки должны иметь по две координаты.

Теорема. Пусть на проективной плоскости задана проективная система координат R={E1,E2,E3,E} и точка М имеет координаты относительно R.

Пусть и - проекции точек Е и М из центра на прямую ,

и - проекции точек Е и М из центра на прямую ,

и - проекции точек Е и М из центра на прямую .

Тогда точки имеют координаты

на прямой относительно R={E2,E3,E },

на прямой относительно R ,

на прямой относительно R

Теорема. При центральном проектировании двойное отношение точек не меняется, то есть двойное отношение точек равно двойному отношению их образов.

Рассмотрим проекции точек A, B, C, D на прямую .

В силу теорем

, (1)

, (2)

. (3)

Координаты , , не могут одновременно равняться нулю.

Если, например, , то в равенствах (1) и (2) можно разделить числитель и знаменатель дроби на . Равенство (3) в этом случае нам не понадобится. Из (1) и (2) найдем численные значения .

Получим для координат точки .

Если , то либо , либо . Выберем ту координату , для которой и повторим для нее рассуждения как для координаты .

6. На проективной плоскости прямые a, b, c заданы уравнениями

соответственно. Написать уравнение прямой d, если (a b , c d) = -1/3. Проверить принадлежность прямых a, b, c одному пучку.

Решение.

Выпишем координаты прямых

и повторим решение задачи 5, поменяв слова «точка» и «прямая» местами. Мы воспользовались принципом двойственности точек и прямых на проективной плоскости.