Вращающегося вокруг неподвижной оси

Вычислим координаты главного момента сил инерции твердого тела (6.12), вращающегося вокруг неподвижной оси. Ось Оz совместим с осью вращения, а оси Ох и Оу скрепим с вращающимся телом (рис.6.3а), тогда и , - радиус – вектор рассматриваемой точки . При вращении тела вокруг неподвижной оси Оz ускорение любой точки состоит из нормального ускорения и касательного ускорения где - расстояние точки k от оси вращения Оz (рис.6.3,б):

Рис. 6.3

Здесь учтено, что - координаты точки .

Тогда, согласно (6.12), получим,

(6.12, а)

Здесь центробежные моменты инерции, осевой момент инерции.

Таким образом, главный момент сил инерции твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, сводится к паре сил, момент которой равен

(6.14)

где

Если ось вращения проходит через центр тяжести тела и оси xyz являются главными осями, то

(6.14а)

Пример 3. Через блок весом и радиусом R перекинута нерастяжимая нить, на конце которой подвешен груз А весом . Определить ускорение а груза А, натяжение нити Т и давление на подшипник оси блока (рис. 6.4).

Решение. Пусть груз А опускается вниз, тогда сила инерции груза вверх. .

Поскольку ось вращения диска является осью симметрии, то

Рис. 6.4

.Следовательно, момент от сил инерции, согласно (6.14), равен и направлен в сторону противоположную вращению диска.

Отбросим опору О, заменим ее действие реакциями подшипника и (рис 6.4). Составим уравнения кинетостатики (6.9):

Рис. 6.5

Подставим в последнее уравнение значения силы инерции и момента от сил инерции и решим его относительно ускорения а, получим

.

Тогда из первых двух уравнений определим

.

Для определения натяжения нити разорвем гибкую связь и заменим ее действие натяжением Т (рис. 6.5). Добавляя внешнюю силу и силу инерции , имеем

,

откуда .

Если считать диск сплошным телом, то , тогда

.