Принцип Д’Аламбера для материальной точки

Уравнение движения материальной точки массой m относительно инерциальной системы отсчета под действием приложенных сил, равнодействующая которых , имеет вид

. (6.1)

Перепишем это уравнение в виде

. (6.2)

Введя обозначение

, (6.3)

получим

. (6.4)

Вектор , равный по модулю произведению массы точки на ее ускорение и направленный противоположно вектору ее ускорения, называется силой инерции.

Уравнение (6.4) выражает принцип (уравнение) Д’Аламбера: в каждый момент движения геометрическая сумма внешних сил и силы инерции равна нулю.

При этом следует иметь в виду, что к материальной точке приложена только равнодействующая сила т.е. внешняя сила и реакция связи, если точка не свободна. Сила же инерции к точке не приложена, а появляется при движении точки.

Метод кинетостатики является формальным приемом сведения уравнения динамики к уравнению статики, причем при решении практических задач

такой прием обладает рядом достоинств.

Пример 1. Шарик массой m подвешен на нити длиной L. Шарику сообщают равномерное движение по окружности в горизонтальной плоскости (рис. 6.1). Нить составляет угол с вертикалью. Определить скорость шарика и натяжение нити.

Решение. Направим ось Оу вертикально вниз, а плоскость хОу пусть проходит через шарик в рассматриваемый момент времени (рис. 6.1).При равномерном движении по окружности точка имеет ускорение

,

Рис. 6.1

направленное по оси Оx к центру окружности, т.е. к точке О. Сила инерции направлена по оси Оx против направления и по модулю (согласно 6.3), равна

.

Далее освободимся от связи, заменим ее силой натяжения Т. Составим уравнение Д’Аламбера (6.4) (уравнение кинетостатики):

.

Перейдем от векторного уравнения к скалярному. Для чего спроецируем полученное уравнение на координатные оси

Отсюда находим

.