Нормальное распределение как стандарт

Каждому психологическому (или шире − биологическому) свойству соответствует свое распределение в генеральной совокупности. Чаще всего оно является нормальным и характеризуется своими параметрами: средним (М) и стандартным отклонением (σ). Только эти два значения отличают друг от друга бесконечное множество нормальных кривых, одинаковой формы, заданной уравнением (6.1). Среднее задает положение кривой на числовой оси и выступает как некоторая исходная, нормативная величина измерения. Стандартное отклонение задает ширину этой кривой, зависит от единиц измерения и выступает как масштаб измерения (рис. 6.3).

Рис. 6.3. Семейство нормальных кривых, 1-е распределение

отличается от 2-го стандартным отклонением (σ₁ < σ₂),

2-е от 3-го средним арифметическим (М2 < М3)

Все многообразие нормальных распределений может быть сведено к одной кривой, если применить z-преобразование (по формуле 5.1) ко всем возможным измерениям свойств. Тогда каждое свойство будет иметь среднее 0 и стандартное отклонение 1. На рисунке 6.4 построен график нормального распределения для М = 0 и σ = 1. Это и есть единичное нормальное распределение, которое используется как стандарт − эталон. Рассмотрим его важные свойства.

1) Единицей измерения единичного нормального распределения является стандартное отклонение.

2) Кривая приближается к оси Z по краям асимптотически − никогда не касаясь ее.

3) Кривая симметрична относительно М = 0. Ее асимметрия и эксцесс равны нулю.

4) Кривая имеет характерный изгиб: точка перегиба лежит точно на расстоянии в одну σ от М.

5) Площадь между кривой и осью Z равна 1.

Последнее свойство объясняет название «единичное нормальное распределение» и имеет исключительно важное значение. Благодаря этому свойству площадь под кривой интерпретируется как вероятность, или относительная частота. Действительно, вся площадь под кривой соответствует вероятности того, что признак примет любое значение из всего диапазона его изменчивости (от − ∞ до + ∞). Площадь под единичной нормальной кривой слева или справа от нулевой точки равна 0,5. Это соответствует тому, что половина генеральной совокупности имеет значение признака больше 0, а половина − меньше 0. Относительная частота встречаемости в генеральной совокупности значений признака в диапазоне от z₁ до z₂ равна площади под кривой, лежащей между соответствующими точками. Отметим еще раз, что любое нормальное распределение может быть сведено к единичному нормальному распределению путем z-преобразования.

Рис. 6.4. Стандартное нормальное распределение

Таким образом:

а) если х_i имеет нормальное распределение со средним М и стандартным отклонением σ, то z = (х − М_х)/σ характеризуется единичным нормаль­ным распределением со средним 0 и стандартным отклонением 1;

б) площадь между х₁ и х₂ в нормальном распределении со средним М_х и стандартным отклонением σ равна площади между z₁ = (х₁ − М_х)/σ и z₂ = (х₂ − М_х)/σ в единичном нормальном распределении.

Итак, наиболее важным общим свойством разных кривых нормального распределения является одинаковая доля площади под кривой между одними и теми же двумя значениями признака, выраженными в единицах стандартного отклонения.

Полезно помнить, что для любого нормального распределения существу­ют следующие соответствия между диапазонами значений и площадью под кривой:

М ± σ соответствует «68% (точно − 68,26%) площади;

М ± 2σ соответствует «95% (точно − 95,44%) площади;

М ± 3σ соответствует «100% (точно − 99,72%) площади.

Единичное нормальное распределение устанавливает четкую взаимосвязь стандартного отклонения и относительного количества случаев в генеральной совокупности для любого нормального распределения. Например, зная свойства единичного нормального распределения, мы можем ответить на следующие вопросы. Какая доля генеральной совокупности имеет выраженность свойства от − 1σ до + 1σ? Или какова вероятность того, что случайно выбранный представитель генеральной совокупности будет иметь выраженность свойства, на 3σ превышающую среднее значение? В первом случае ответом будет 68,26% всей генеральной совокупности, так как от −1 до +1 содержится 0,6826 площади единичного нормального распределения. Во втором случае ответ: (100 − 99,72)/2 = 0,14%.

Полезно знать, что если распределение является нормальным, то:

90% всех случаев располагается в диапазоне значений М ± 1,64σ;

95% всех случаев располагается в диапазоне значений М ± 1,96σ;

99% всех случаев располагается в диапазоне значений М ± 2,58σ.

Существует специальная таблица, позволяющая определять площадь под кривой справа от любого положительного z (приложение 1). Пользуясь ею, можно определить вероятность встречаемости значений признака из любого диапазона. Это широко используется при интерпретации данных тестирования.

Примеры

1. Значение IQ по шкале Векслера (М = 100, σ = 15) некоторого тестируемого равно 125. Вопрос о степени выраженности интеллекта у данного индивидуума переформулируем следующим образом: насколько часто или редко встречаются значения IQ ниже или выше 125?

Решение. Перейдем от шкалы IQ к единицам стандартного отклонения (z-значениям): z = (125 – 100)/15 = 1,66. По таблице 20 из приложения 1 находим площадь под кривой справа от этого значения, она равна 0,0485. Это значит, что IQ 125 и выше встречается довольно редко − менее, чем в 5% случаев.

2. Какова вероятность того, что случайно выбранный человек будет иметь IQ по шкале Векслера в диапазоне от 100 до 120?

Решение. В единицах стандартного отклонения z₁ = 0,0; z₂ = 1,66. Площадь справа от z₁ − 0,5, справа от z₂ − примерно 0,0918, следовательно, площадь между z₁ и z₂ равна 0,5 − 0,0918 = 0,4082. Таким образом, вероятность того, что случайно выбранный человек будет иметь IQ в диапазоне от 100 до 120, равна примерно 0,41.

Несмотря на исходный постулат, в соответствии с которым свойства в генеральной совокупности имеют нормальное распределение, реальные данные, полученные на выборке, нечасто распределены нормально. Более того, разработано множество методов, позволяющих анализировать данные без всякого предположения о характере их распределения как в выборке, так и в генеральной совокупности. Эти обстоятельства иногда приводят к ложному убеждению, что нормальное распределение − пустая математическая абстракция, не имеющая отношения к психологии. Тем не менее, как мы увидим в дальнейшем, можно указать, по крайней мере, на три важных аспекта применения нормального распределения:

1. Разработка тестовых шкал.

2. Проверка нормальности выборочного распределения для принятия решения о том, в какой шкале измерен признак − в метрической или порядковой.

3. Статистическая проверка гипотез, в частности − при определении риска принятия неверного решения.