Правило трёх s (трёх “сигм”)

Пусть имеется нормально распределённая случайная величина x с математическим ожиданием, равным а и дисперсией s². Определим вероятность попадания x в интервал (а – 3s; а + 3s), то есть вероятность того, что x принимает значения, отличающиеся от математического ожидания не более, чем на три среднеквадратических отклонения.

P(а – 3s< x < а + 3s)=Ф(3) – Ф(–3)=2Ф(3).

По таблице Лапласа находим Ф(3)≈0,49865, откуда следует, что 2Ф(3) практически равняется единице. Таким образом, можно сделать важный вывод: нормально распределённая случайная величина принимает значения, отклоняющиеся от ее математического ожидания не более чем на 3s.

Выбор числа 3 здесь условен и никак не обосновывается: можно было выбрать 2,8, 2,9 или 3,2 и получить тот же вероятностный результат. Учитывая, что Ф(2)≈0,477, можно было бы говорить и о правиле двух “сигм”.

Задача 4.Определитезакон распределения, найдите Mx, Dx и выпишите функцию распределения для случайной величины x, если её плотность распределения есть

.

Задача 5.Случайная величина m имеет следующую плотность распределения вероятностей: . Чему равен параметр с?

Задача 6. Случайная величина n имеет следующую функцию распределения: . Чему равны

а) математическое ожидание случайной величины n;

б) дисперсия случайной величины n ?