Взаимное расположение двух и трех плоскостей


1.Пусть даны две плоскости П1 и П2 своими уравнениями:

(1)

(2)

в аффинной системе координат .

Координаты х,у,z точки являются решением системы уравнений (1), (2). Поэтому вопрос о взаимном расположении плоскостей П1 и П2 сводится к исследованию системы линейных уравнений (1), (2). Обозначим: , .

Ясно, что , причем по теореме Кронекера-Капелли система уравнений (1) и (2) совместна тогда и только тогда, когда . Таким образом, плоскости П1 и П2 имеют хотя бы одну общую точку тогда и только тогда, когда .

Возможны следующие случаи:

1) . Тогда система уравнений (1) и (2) совместна и имеет бесчисленное множество решений (n = 3). Коэффициенты А111 , D1 уравнения (1) пропорциональны коэффициентам А222 , D2 уравнения (2) и уравнения (1) и (2) равносильны: А2 =аА1, В2 =аВ1,С2 =аС1, D2 =аD1. Отсюда заключаем, что каждая точка одной из плоскостейП1 и П2 принадлежит другой, и поэтому плоскости П1 и П2 совпадают. Это надо понимать так, что два уравнения (1) и (2) определяют одну и ту же плоскость.

Пусть плоскостиП1 и П2 совпадают. Тогда уравнения (1) и (2) эквивалентны: r'=1 (r=1).

2) r'=2, r=1. По теореме Кронекера-Капелли система (1) и (2) несовместна. Тогда плоскостиП1 и П2 не имеют общих точек, т.е. параллельны.

3) r' = 2, r = 2. Система уравнений (1) и (2) совместна и поэтому плоскостиП1 и П2 имеют бесконечное множество общих точек (n=3). Тогда плоскости П1 и П2 различны ( они не могут совпасть, так как ).

Если - одно из решений системы (1) и (2), то эта система равносильна системе уравнений:

Общее решение этой системы имеет вид:

, , .

 

, , (3)

Уравнения (3) являются параметрическими уравнениями прямой . Направляющий вектор прямойd имеет координаты:

(определенные с точностью до общего множителя )(§13)

Таким образом, плоскости П1 и П2 имеют общую прямую, т.е. пересекаются.

2. Пусть даны три плоскости: П1 и П2, определяемые уравнениями (1) и (2) соответственно, иП3,определяемая уравнением: (4) относительно аффинной системы координат .Вопрос о взаимном расположении этих плоскостей сводится к исследованию системы линейных уравнений (1), (2), (4). Введем обозначения:

,

, . Возможны случаи:

1) r'=r=3. Тогда система уравнений (1), (2), (4) имеет единственное решение, следовательно, плоскостиП1 и П2 , П3 имеют единственную общую точку М0 , (см.рис.1);

  рис.1 рис.2

2) r' = 3, r = 2. Система уравнений (1), (2), (4) не имеет решений, значит плоскостиП1 и П2 , П3 не имеют общей точки.

Так как r = 2, то по крайней мере одно из чисел (а значит и ) равно 2 и поэтому по крайней мере две плоскости изП1 , П2 , П3 пересекаются. При этом третья плоскость не имеет общих точек с линией пересечения первых двух плоскостей, так как система уравнений (1), (2), (4) несовместна. Здесь возможны два случая:

а) Каждая пара плоскостейП1 , П2 , П3 пересекаются (все =2), ( см.рис.2)

б) Две плоскости из трех параллельны (не имеют общих точек). Если, например, , то плоскость П2 пересекает плоскостиП1 и П3 , причем П1 //П3 ,

3) r'=r=2. Система уравнении (1), (2), (4) имеет бесконечное множество решений. Значит, плоскости П1 , П2 , П3 имеют общие точки. В этом случае система уравнений (1), (2), (4) содержит лишь два независимых уравнения, определяющих пару пересекающих плоскостей; третье уравнение - следствие двух указанных и, значит, определяемая им плоскость проходит через линию пересечения этих двух плоскостей.

а) (см.рис.3.)

рис.3 рис.4

б) (плоскостиП1 и П2 совпадают, плоскостиП1 и П3 пересекаются), см. рис.4.

4) r' = 2, r = 1. Система уравнений (1), (2), (4) не имеет решений, значит плоскости П1 , П2 , П3, не имеют общей точки.

а) все , = 2. ПлоскостиП1 , П2 , П3, параллельны.

б) все , но по крайней мере одно из чисел равно 2

Cледовательно, из трехплоскостей П1 , П2 , П3, по крайней мере две плоскости параллельны (не имеют общих точек), третья плоскость может совпадать с одной из параллельных плоскостей.

5) r'=r=1. Система уравнений (1), (2), (4) имеет бесконечное множество решений, значит, плоскости П1 , П2 , П3 имеют общие точки. В этом случае система уравнений (1), (2), (4) содержит лишь одно независимое уравнение, два других - его следствия. Следовательно, плоскости П1 , П2 , П3 совпадают.



Дата добавления: 2020-10-25; просмотров: 488;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.008 сек.