Взаимное расположение двух и трех плоскостей
1.Пусть даны две плоскости П1 и П2 своими уравнениями:
(1)
(2)
в аффинной системе координат .
Координаты х,у,z точки являются решением системы уравнений (1), (2). Поэтому вопрос о взаимном расположении плоскостей П1 и П2 сводится к исследованию системы линейных уравнений (1), (2). Обозначим: , .
Ясно, что , причем по теореме Кронекера-Капелли система уравнений (1) и (2) совместна тогда и только тогда, когда . Таким образом, плоскости П1 и П2 имеют хотя бы одну общую точку тогда и только тогда, когда .
Возможны следующие случаи:
1) . Тогда система уравнений (1) и (2) совместна и имеет бесчисленное множество решений (n = 3). Коэффициенты А1 ,В1 ,С1 , D1 уравнения (1) пропорциональны коэффициентам А2 ,В2 ,С2 , D2 уравнения (2) и уравнения (1) и (2) равносильны: А2 =аА1, В2 =аВ1,С2 =аС1, D2 =аD1. Отсюда заключаем, что каждая точка одной из плоскостейП1 и П2 принадлежит другой, и поэтому плоскости П1 и П2 совпадают. Это надо понимать так, что два уравнения (1) и (2) определяют одну и ту же плоскость.
Пусть плоскостиП1 и П2 совпадают. Тогда уравнения (1) и (2) эквивалентны: r'=1 (r=1).
2) r'=2, r=1. По теореме Кронекера-Капелли система (1) и (2) несовместна. Тогда плоскостиП1 и П2 не имеют общих точек, т.е. параллельны.
3) r' = 2, r = 2. Система уравнений (1) и (2) совместна и поэтому плоскостиП1 и П2 имеют бесконечное множество общих точек (n=3). Тогда плоскости П1 и П2 различны ( они не могут совпасть, так как ).
Если - одно из решений системы (1) и (2), то эта система равносильна системе уравнений:
Общее решение этой системы имеет вид:
, , .
, , (3)
Уравнения (3) являются параметрическими уравнениями прямой . Направляющий вектор прямойd имеет координаты:
(определенные с точностью до общего множителя )(§13)
Таким образом, плоскости П1 и П2 имеют общую прямую, т.е. пересекаются.
2. Пусть даны три плоскости: П1 и П2, определяемые уравнениями (1) и (2) соответственно, иП3,определяемая уравнением: (4) относительно аффинной системы координат .Вопрос о взаимном расположении этих плоскостей сводится к исследованию системы линейных уравнений (1), (2), (4). Введем обозначения:
,
, . Возможны случаи:
1) r'=r=3. Тогда система уравнений (1), (2), (4) имеет единственное решение, следовательно, плоскостиП1 и П2 , П3 имеют единственную общую точку М0 , (см.рис.1);
рис.1 | рис.2 |
2) r' = 3, r = 2. Система уравнений (1), (2), (4) не имеет решений, значит плоскостиП1 и П2 , П3 не имеют общей точки.
Так как r = 2, то по крайней мере одно из чисел (а значит и ) равно 2 и поэтому по крайней мере две плоскости изП1 , П2 , П3 пересекаются. При этом третья плоскость не имеет общих точек с линией пересечения первых двух плоскостей, так как система уравнений (1), (2), (4) несовместна. Здесь возможны два случая:
а) Каждая пара плоскостейП1 , П2 , П3 пересекаются (все =2), ( см.рис.2)
б) Две плоскости из трех параллельны (не имеют общих точек). Если, например, , то плоскость П2 пересекает плоскостиП1 и П3 , причем П1 //П3 ,
3) r'=r=2. Система уравнении (1), (2), (4) имеет бесконечное множество решений. Значит, плоскости П1 , П2 , П3 имеют общие точки. В этом случае система уравнений (1), (2), (4) содержит лишь два независимых уравнения, определяющих пару пересекающих плоскостей; третье уравнение - следствие двух указанных и, значит, определяемая им плоскость проходит через линию пересечения этих двух плоскостей.
а) (см.рис.3.)
рис.3 | рис.4 |
б) (плоскостиП1 и П2 совпадают, плоскостиП1 и П3 пересекаются), см. рис.4.
4) r' = 2, r = 1. Система уравнений (1), (2), (4) не имеет решений, значит плоскости П1 , П2 , П3, не имеют общей точки.
а) все , = 2. ПлоскостиП1 , П2 , П3, параллельны.
б) все , но по крайней мере одно из чисел равно 2
Cледовательно, из трехплоскостей П1 , П2 , П3, по крайней мере две плоскости параллельны (не имеют общих точек), третья плоскость может совпадать с одной из параллельных плоскостей.
5) r'=r=1. Система уравнений (1), (2), (4) имеет бесконечное множество решений, значит, плоскости П1 , П2 , П3 имеют общие точки. В этом случае система уравнений (1), (2), (4) содержит лишь одно независимое уравнение, два других - его следствия. Следовательно, плоскости П1 , П2 , П3 совпадают.
Дата добавления: 2020-10-25; просмотров: 476;