Универсальная тригонометрическая подстановка

Так как , , , выражаются через , уравнения вида с помощью универсальной тригонометрической подстановки удается свести к алгебраическому уравнению. При этом используем формулы:

; ;

;

Обозначив , где , получаем:

; ; ; .

При этом следует иметь в виду, что замена на и на ведет к сужению области допустимых значений переменной, поскольку из рассмотрения исключаются значения х, при которых =0, т.е. . Поэтому при применении универсальной тригонометрической подстановки необходимо дополнительно выяснить, являются или нет исключаемые из рассмотрения значения х корнями исходного уравнения.

Пример.Решите уравнение

.

Решение

В данном уравнении , . Вводим дополнительный угол. Для этого делим обе части равенства на 2:

;

.

Ответ: .

Пример.Решите уравнение

.

Решение

, . Переходим к функциям половинного аргумента:

;

Ответ: ; .

Пример.Решите уравнение

.

Решение

, . Применим универсальную тригонометрическую подстановку.

; ;

; .

не является корнем исходного уравнения, следовательно, потери решений не произойдет.

Ответ: ; .