Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени

Метод разложения на множители

Метод разложения на множители заключается в следующем: если

,

то всякое решение уравнения

(1.1)

является решением совокупности уравнений:

(1.2).

Обратное утверждение, неверно: не всякое решение совокупности уравнений (1.2) является решением уравнения (1.1). Это объясняется тем, что решения отдельных уравнений совокупности (1.2) могут не входить в область определения функции . Поэтому, при решении тригонометрического уравнения необходимо учитывать область допустимых значений исходного уравнения и выбирать только те корни, которые в нее входят.

При решении тригонометрических уравнений с помощью разложения на множители очень часто необходимо преобразовать сумму или разность тригонометрических функций в произведение.

Пример. Решите уравнение

.

Решение.

Ответ: ; ; .

Метод замены переменной

Данный метод позволяет с помощью введения новой переменной, свести решение тригонометрического уравнения к решению алгебраического уравнения.

Пример.Решите уравнение

Решение.

Замена: ,

t₁ = -1/2, t₂=4/3

, .

Ответ: ,

Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени

Решение многих тригонометрических уравнений, содержащих функции в четных степенях, основано на применении формул понижения степени:

Очень часто эти формулы применяются в виде:

Пример.Решите уравнение

.

Решение

; ;

Ответ: .