Тригонометрическая форма комплексного числа.

Введём величину тогда можно представить в таком виде: , для некоторого , ведь геометрически в этом случае - катеты прямоугольного треугольника, - его гипотенуза.

Абсцисса и ордината точки на плоскости это проекции на оси, они равны и соответственно. Эти величины и и есть полярные координаты точки на плоскости. Если записать комплексное число с помощью введённых выше величин и , получим: = = .

Выражение называется тригонометрической формой комплексного числа, - его аргументом, - модулем.

.

Понятие модуля согласуется с известным понятием, применявшимся раньше для отрицательных чисел: модуль - расстояние по кратчайшей линии до начала координат.

Для любой точки модуль вычисляется как . Для вычисления аргумента верна формула если точка в 4-й и 1-й четверти, либо , если во 2-й и 3-й четверти.

Так, число запишется в виде .

Число соответствует .

Если вычислить синус и косинус, то снова перейдём к обычной, «алгебраической» форме числа:

= = .

Действительное число имеет аргумент 0 (если оно положительно) или (если оно отрицательно).

Угол может определяться разными способами, так, например, вместо угла во всех вычислениях для комплексных чисел в тригонометрической форме можно использовать , и это не будет ошибкой, так как тригонометрические функции повторяются через промежуток .