Пара сил. Момент пары сил на плоскости

Парой сил называется система двух сил и (рис. 3.3), приложенных к твердому телу, удовлетворяющая следующим условиям:

1. Линии действия сил параллельны.

2. Модули сил равны (F = F’).

3. Направления действия сил противоположны.

Плоскость, на которой лежат линии действия пары сил, называется плоскостью действия пары. Расстояние h между линиями действия сил и называется плечом пары. Совокупность пар, приложенных к телу, называется системой пар.

Пара сил, приложенная к телу, стремится сообщить ему некоторое вращение. Вращательный эффект пары характеризуется ее моментом. Моментом пары сил называется произведение модуля одной из сил пары на ее плечо, взятое со знаком «+» или «-»

. (3.3)

Момент пары считается положительным, когда пара стремится повернуть тело против хода часовой стрелки, и отрицательным - когда по ходу часовой стрелки.

Теорема об эквивалентных парах. Две пары сил, лежащие на одной плоскости и имеющие равные алгебраические величины моментов, эквивалентны.

Доказательство:

Пусть ( , ) и ( , ) – две пары сил, лежащие в одной плоскости и имеющие равные моменты М( , ) =М( , ). Продолжим линии действия сил пересечения друг с другом (рис. 3.4). Перенесем силы и по линиям действия в точки А и В и разложим каждую из них на составляющие. Получим: { , } <=> { , , , }. Из построения имеем =- , =- , так как и направлены по одной прямой, то { , }. <=> 0, а { , } <=> { , }.

Докажем эквивалентность пар ( , ) и ( , ). Для этого достаточно доказать, что = . Плечи пар ( , ) и ( , ) равны; момент пары ( , ) численно равен удвоенной площади треугольника АВС, а момент пары ( , ) – удвоенной площади треугольника АВD. Но площади этих треугольников равны, так как у них общее основание и равные высоты, опущенные из вершин С и D, то есть F₂h=F₁h₁, но так как Fh=F₁h₁, то F₂h=Fh, следовательно, = , тогда ( , ) <=> ( , ) и ( , ) <=> ( , ).

Следствия из теоремы об эквивалентных парах:

1. Пару сил можно переносить в любое место плоскости ее действия.

2. Действие пары сил на тело не изменится, если изменить значения модуля силы и плеча, оставляя величину момента прежней.

3. Пару сил можно переносить в плоскость, параллельную плоскости действия.

Теорема о сложении пар сил. Пары сил, лежащие в одной плоскости можно складывать. В результате сложения получается лежащая на той же плоскости пара сил с моментом, равным алгебраической сумме моментов слагаемых пар.

Доказательство:

Докажем для двух пар. Пусть ( , ) и ( , ) – пары, лежащие на одной плоскости и имеющие моменты М₁= F₁h₁ и М₂= F₂h₂. Возьмем произвольный отрезок АВ=h (рис. 3.5). На основании теоремы об эквивалентных парах можно заменить введенные пары эквивалентными им парами ( , ) и ( , ), имеющими плечо h. . Сложив силы в точке А, получим = + ; в точке В – = + ; =- .

.

Справедливо для любого числа пар:

. (3.4)

Рис. 3.5

Равновесие рычага

Рычагом называется твердое тело, вращающеесявокруг неподвижной оси и находящееся под действием сил, лежащих в плоскости перпендикулярной к этой оси. Если на рычаг действует сходящаяся система сил, то равновесие рычага достигается, когда линия действия равнодействующей проходит через точку О (рис. 3.6), а алгебраическая сумма моментов приложенных к нему сил относительно точки Оравна нулю:

(3.5)

Рассмотрим случай, когда на рычаг действует система параллельных сил, лежащих в одной плоскости. Приложенная к рычагу система параллельных сил может быть приведена или к одной равнодействующей, или к паре.

Рис. 3.6

Сложим все силы, направленные вверх: , и вниз: , соответственно. Найти точки приложения равнодействующих можно по формулам

(3.6)

В итоге возможны три случая:

1) , тогда система сводится к одной равнодействующей.

2) - система не имеет равнодействующей и сводится к паре сил.

3) , и они направлены по одной прямой, тогда система представляет собой уравновешенную систему сил.

Если система параллельных сил, приложенная к рычагу, сводится к паре, то равновесия рычага быть не может, так как реакция шарнира О(рис. 3.7) не может уравновесить пару. То есть, при равновесии рычага приложенная к нему система параллельных сил приводится к равнодействующей силе, проходящей через неподвижную точку рычага.