Закон Гука для изотропных твердых тел

Основные закономерности поведения твердых тел в упругой области экспериментально впервые были изучены Р. Гуком. Им установлено, что при нагружении изотропного тела, когда деформации и напряжения достаточно малы, деформация пропорциональна приложенному напряжению (закон Гука):

Здесь - продольная деформация при растяжении; S - константа упругой по­датливости, или просто податливость; - напряжения.

Закон Гука можно записать и в такой форме:

,

где - константа упругой жесткости, или просто жесткость.

В литературе, особенно технической, часто называют модулем Юнга и обозначают , тогда

.

Закон Гука для сдвиговой деформации при действии касательных (скалывающих) напряжений имеет такой же простое вид, как и для случая растяжения:

.

где - модуль сдвига (или модуль упругости при сдвиге), - тангенс угла сдвига.

Закон Гука в приведенной выше форме определяет зависимость между напряжением и деформацией в одном и том же направлении, т. е. в направлении приложения внешней силы. Такая запись носит название элементарного закона Гука.

Однако деформация может возникать и в направлениях, отличных от направления приложения силы. В этих случаях закон Гука в элементарной форме уже недостаточен и необходимо воспользоваться обобщенным законом Гука. В самом деле, при одноосном растяжении цилиндрического образца происходит не только его удлинение в направлении приложенной силы, но и сжатие образца в поперечных направлениях, т. е. имеет место трехмерная деформация. Поперечная деформация при упругом растяжении или сжатии характеризуется коэффициентом Пуассона , равным отношению изменения размеров в поперечном направлении к их измене­нию в продольном направлении. Для большинства твердых тел значения лежат между 0,25 и 0,35.

Обобщенный закон Гука устанавливает линейную зависимость не только между одним напряжением и соответствующей деформацией, а между всеми компонентами тензора напряжений и компонентами тензора деформации.

Обобщенный закон Гука для изотропного тела записывают в следующем виде:

,

,

,

,

,

.

Константы упругости связаны между собой выражением

.

Таким образом, зная две константы, можно всегда определить третью.