Нелинейные электрические цепи постоянного тока

Электрическая цепь относится к классу нелинейных, если она содержит хотя бы один нелинейный элемент. В свою очередь, нелинейным является такой элемент, параметры которого (сопротивление или проводимость) зависят от величины напряжения или тока. На схемах замещения, которые используются при расчетах электрических цепей, реальные устройства представляются совокупностями линейных и нелинейных сопротивлений, индуктивностей и емкостей, поэтому свойства нелинейных цепей изучаются, исходя из характеристик этих элементов.

Характеристиками нелинейных элементов электрических цепей постоянного тока обычно являются их вольтамперные характеристики i(u) или u(i).

На электрических схемах нелинейный элемент в общем случае обозначается так, как показано на рис. 2.8,а.

Примеры вольтамперных характеристик цепей постоянного тока приведены на рис. 2.8(б, в, г).

Рис. 2.8

Характеристику, изображенную на рис. 2.8,б, имеет, например, обычная лампа накаливания с металлической нитью. На рис. 2.8,в изображена вольтамперная характеристика полупроводникового диода. Именно на несимметричных характеристиках осуществляется выпрямление переменного тока, поскольку прямое и обратное сопротивления могут отличаться в 10⁵ – 10⁷ раз.

Более подробно свойства различных полупроводниковых элементов рассматриваются в разделе «Электроника». Здесь же ограничимся рассмотрением особенностей расчета нелинейных электрических цепей постоянного тока.

Как и в случае линейных цепей, расчет строится на использовании законов Ома и Кирхгофа. Однако уравнения Кирхгофа становятся нелинейными алгебраическими уравнениями, решение которых имеет свои особенности. Рассмотрим эти особенности на отдельных примерах.

На рис. 2.9,а показано последовательное соединение двух нелинейных элементов. Задано входное напряжение u = U = const и вольтамперные характеристики 1 и 2 этих элементов (рис. 2.9,б). Требуется найти ток I и напряжения U₁ ,U₂ .

Рис. 2.9

По II закону Кирхгофа имеем

U₁ + U₂ = U (2.17)

Составляющие левой части (2.17) для установившегося режима неизвестны, так же, как и ток I . Поэтому для аналитического решения нелинейного уравнения (1) необходимо иметь аналитическое представление характеристик U₁(I) и U₂ (I).

На практике чаще всего аналитическое представление характеристик неизвестно, они задаются графически (кривые 1 и 2 на рис. 2.9,б), поэтому наиболее привлекательными своей простотой и отсутствием необходимости аналитического представления характеристик нелинейных элементов являются графические способы решения.

В рассматриваемой задаче нужно в соответствии с уравнением (2.17), складывая напряжения на элементах при различных токах, построить результирующую вольтамперную характеристику 3 (рис. 2.9,б), и затем по кривой 3, отложив на оси абсцисс заданное напряжение U, определить графически ток в цепи, а по току найти напряжения U₁ и U₂ (процесс решения на рис. 2.9,б показан стрелками).

При параллельном соединении (рис. 2.10,а) имеем

I₁ + I₂ = I (2.18)

На рис.2.10б в соответствие с (2.18) складываются ординаты вольтамперных характеристик элементов при различных напряжениях, и строится результирующая характеристика 3, по которой при заданном напряжении U находится общий ток, а по кривым 1 и 2 – токи I₁ и I₂ .

Рис. 2.10

(2.19) (2.20)

При последовательно-параллельном (смешанном) соединении (рис. 2.11,а), когда заданы три вольтамперные характеристики: i₁(u₁), i₂(u₂) и i₃(u₃), изображенные на рис. 2.12,а, и входное напряжение u_вх. = U, получим систему двух нелинейных уравнений:

Процесс решения этих уравнений соответствует прямому и обратному преобразованию цепи (рис. 2.11).

Рис. 2.11

По уравнению (2.19), используя правила построения вольтамперной характеристики при параллельном соединении, строится ВАХ i₁(u_ab), что соответствует первому преобразованию, представленному на рис. 2.10,б. При этом складываются ординаты характеристик 2-го и 3-го нелинейных элементов (рис. 2.12,а). Построенную кривую i₁(u_ab) и заданную характеристику i₁(u₁) переносим на рис. 2.11,б. Затем по уравнению (2.20), используя правила построения ВАХ при последовательном соединении, строим результирующую ВАХ цепи i₁(u_вх). При этом складываются на рис. 2.12,б абсциссы характеристик i₁(u₁) и i₁(u_ab).

Рис. 2.12

Результирующая характеристика i₁(u_вх.) позволяет по заданному напряжению u_вх = U найти ток цепи I₁ (cм. рис. 2.12,б). По току I₁ определяются напряжения U₁ и U_ab, а также токи I₂ и I₃ (см. рис. 2.12, на котором соответствующие решения показаны стрелками). Нетрудно заметить, что нахождение по графикам напряжений U_ab и U₁ соответствует обратному переходу к схеме, изображённой на рис. 2.11,б, а определение токов I₂ и I₃ – переходу к исходной схеме ( рис. 2.11,а).

Аналогично рассчитываются и более сложные цепи, состоящие из последовательных и параллельных участков.

Обратим внимание на следующее обстоятельство. Если в сложных нелинейных электрических цепях ветви содержат источники ЭДС, то, чтобы применить те же правила, которые были нами рассмотрены, нужно сначала построить эквивалентные характеристики ветвей.

Рассмотрим схему (рис. 2.13,а), в которой ветвь содержит источник ЭДС, совпадающий по направлению с током I.

Рис. 2.13

Запишем нелинейное уравнение II закона Кирхгофа для этой цепи:

– U + u_нэ = Е.

Откуда U = u_нэ – Е, что соответствует сдвигу ВАХ i (u_нэ) влево на величину ЭДС, т.е. эквивалентное ВАХ ветви i (u_вх) сдвинута влево по отношению к заданной ВАХ i (u_нэ) на величину ЭДС.

Очевидно, что для схемы, в которой направление тока и ЭДС противоположны (рис. 2.13,б), эквивалентная ВАХ будет сдвинута вправо.

Заметим, что направление смещения (сдвига) определяется простым правилом: если закоротить входные зажимы схем (U_вх = 0), то в первом случае значение тока на оси ординат должно быть положительным, что свидетельствует о необходимости смещения ВАХ влево. Во второй схеме при тех же условиях ток будет отрицателен, а результирующая ВАХ расположится правее ВАХ нелинейного элемента.

Магнитные цепи

Магнитные цепи – это магнитопроводы электрических машин, трансформаторов, электромагнитов и других устройств, выполняемые из ферромагнитных материалов. Участками магнитных цепей могут быть воздушные зазоры или прокладки из диамагнитных материалов. Магнитные потоки возбуждаются токами катушек, охватывающими отдельные участки магнитных цепей. В постоянных магнитах магнитные потоки возникают за счёт остаточной намагниченности.

Свойства магнитных цепей определяются кривыми намагничивания материалов В(Н), из которых они изготовлены. Из курса физики известно, что В(Н) – сложная нелинейная зависимость. В общем случае это так называемая петля гистерезиса. При постоянных потоках (токи катушек постоянны) в расчетах используются основные кривые намагничивания (рис.2.14), представляющие собой геометрическое место точек вершин симметричных частных петель гистерезиса.

Рис. 2.14

Эти зависимости приводятся в справочниках в виде кривых или таблиц.