ЛЕКЦИЯ 11. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЕ БИНАРНЫХ ДЕРЕВЬЕВ. КОД ХАФМАНА. ДЕРЕВО-ФОРМУЛА.

Цели и задачи лекции: показать примеры применения бинарныхдеревьев.

Основные рассматриваемые вопросы: код Хафман, дерево-формула.

Рассмотрим применение деревьев для сжатия информации. Под сжатием мы будем понимать получение более компактного кода.

Рассмотрим следующий пример. Имеется текстовая строка S, состоящая из 10 символов

S = ABCCCDDDDD

При кодировании одного символа одним байтом для строки потребуется 10 байт.

Попробуем сократить требуемую память. Рассмотрим, какие символы действительно требуется кодировать. В данной строке используются всего 4 символа. Поэтому можно использовать укороченный код.

A 00

B 01

C 10

D 11

S = 00, 01, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 11, 11 (20 бит)

В данном случае мы проанализировали текст на предмет использования символов. Можно заметить, что различные символы имеют различную частоту повторения. Существуют методы кодирования, позволяющие использовать этот факт для уменьшения длины кода.

Одним из таких методов является кодирование Хафмана. Он основан на использовании кодов различной длины для различных символов. Для максимально повторяющихся символов используют коды минимальной длины.

Построение кодовой таблицы происходит с использованием бинарного дерева. В корне дерева помещаются все символы и их суммарная частота повторения. Далее выбирается наиболее часто используемый символ и помещается со своей частотой повторения в левое поддерево. В правое поддерево помещаются оставшиеся символы с их суммарной частотой. Затем описанная операция проводится для всех вершин дерева, которые содержат более одного символа.

Само дерево может быть использовано в качестве кодовой таблицы для кодирования и декодирования текста. Кодирование осуществляется следующим образом. Для очередного символа в качестве кода используется путь от листа соответствующего символа к корню дерева. Причем каждому левому поддереву приписывается ноль, а каждому правому - единица.

Тогда для строки S будет получен следующий код

S=11011110101000000

Длина кода составляет 17 бит, что меньше по сравнению с укороченным кодом.

Теперь рассмотрим процесс декодирования. Алгоритм распаковки кода можно сформулировать следующим образом.

Распаковка

1. i:=0, j:=0;

2. если i>n, то стоп строка распакована, иначе i:=i+1;

3. node:= root;

4. если b(i)=0, то node:=left(node), иначе node:=right(node)

5. если left(node)=0 и right(node)=0, то j:=j+1, s(j):= str(node), перейти к шагу 2, иначе i:=i+1, перейти к шагу 4

В алгоритме корень дерева обозначен как root, а Left(node) и right(node) обозначают левый и правый потомки узла node.

Рис. Распаковка кода

На практике такие способы упаковки используются не только для текстов, но и для произвольных двоичных данных. Дело в том, что любой файл можно рассматривать как последовательность байт. Тогда дерево кодирования можно построить не для символов, а для значений байт, встречающихся в кодируемом файле. Поскольку байт может принимать 256 значений, то соответствующее дерево будет иметь не более 256 листьев. В узлах дерева после его полного построения нет необходимости хранить несколько значений кодов и частоты повторения. Для кодирования и декодирования достаточно хранить только одно значение кода и только для листового узла. Поэтому такой способ представления кодовой таблицы является достаточно компактным.