Теорема отсчётов Котельникова

Аналитическое описание процесса дискретизации

Под ДИСКРЕТИЗАЦИЕЙ понимают преобразование аналогового сигнала х(t) в последовательность отсчётов его мгновенных значений, взятых через интервалы времени ∆t:

	(1.1)
где
		–	шаг дискретизации;
		–	отсчёты мгновенных значений.

Для аналитического описания дискретизации используют решётчатую функцию вида:

	(1.2)
где

Введение функции позволяет процесс дискретизации аналогового сигнала x(t) выразить произведением вида:

(1.3)

Рисунок 1.1 – Дискретизация сигнала

Решётчатая функция обладает фильтрующим свойством: если дельта-функция присутствует под интегралом, то результат интегрирования равен значению остального подынтегрального выражения в этой точке:

(1.3)

Из (1.3) вытекает, что процесс дискретизации сигналов можно реализовать на перемножителе.

Рисунок 1.2 – Структурная схема дискретизатора

Выводы

1. Преобразование непрерывного информационного множества аналоговых сигналов в дискретное множество называется дискретизацией или квантованием по уровню. Квантование по уровню широко используется в цифровых автоматах.

Теорема отсчётов Котельникова

Важнейшим вопросом при дискретизации является выбор частоты дискретизации.

Ответ на этот вопрос даёт теорема отсчётов, которая часто называется теоремой Котельникова.

Теорема отсчётов.

Любой F-финитный сигнал (сигнал с ограниченным спектром ) точно определяется последовательностью своих отсчётов, взятых через интервалы:

(2.1)

Справедливость этого утверждения следует из рассмотрения спектров, приведенных на рисунке 2.1.

Рисунок 2.1 – Спектры сигналов в процессе дискретизации

На рисунке 1а изображён двухсторонний спектр исходного аналогового сигнала ограниченный частотой

На рисунке 1б – спектр решётчатой функции.

На рис. 1, в-д представлены спектры дискретизированного сигнала при разных соотношениях и _.

Следует обратить внимание, что в процессе дискретизации сигнала его спектр периодически повторяется по оси частот с периодом