Теорема о перестановке членов в абсолютно сходящихся рядах.

Пусть ряд абсолютно сходится, тогда его члены можно переставлять, получая абсолютно сходящийся ряд с той же суммой.

Доказательство. Обозначим s - сумму ряда , S – сумму ряда .

Рассмотрим ряд . Он знакоположительный, так как . Он сходится по первому признаку сравнения рядов по сравнению со знакоположительным рядом , так как . Его сумма равна s + S.

Пусть ряд получен перестановкой членов из .

Тогда знакоположительный ряд получен перестановкой членов из . По теореме Дирихле он сходится и имеет ту же сумму S.

Знакоположительный ряд получен перестановкой членов из ряда . Следовательно, по теореме Дирихле, он сходится и имеет ту же сумму S + s.

Вычитая из сходящегося ряда сходящийся ряд , мы получим ряд . По свойствам сходящихся рядов он сходится и имеет сумму, равную (S + s) – S = s.

Следовательно, ряд , полученный при перестановке членов ряда , сходится и имеет ту же сумму, что и ряд .

Ряд называется условно сходящимся, если ряд из модулей членов ряда расходится, а сам ряд сходится.