Модель двух жидкостей

Ранее проводимость σ вводилась как феноменологическая характеристика плазмы. Чтобы найти ее значение и выяснить физический смысл, необходимо кроме движения плазмы как целого учесть также относительное движение электронов и ионов. Это делается в болеедетальной гидродинамической модели, в которой плазма рассматривается как совокупность двух «жидкостей»: электронной и ионной, — движущихся одна сквозь другую. Электрическое сопротивление плазмы рассматривается при этом как результат взаимного трения этих жидкостей.

Запишем уравнения движения электронов и ионов в виде, аналогичном уравнению (12.2), считая при этом, что на электроны действует только электронное давление р_е, а на ионы — только ионное давление р_i. Взаимное трение, т. е. передачу импульса при взаимодействии между частицами, учтем введением сил трения F_e и F_i, которые должны удовлетворять третьему закону Ньютона. Удобнее писать уравнения не для скорости, а для импульса. Тогда движение электронов и ионов будет описываться в гидродинамическом приближении системой уравнений

(16.1)

(16.2)

Сила трения, испытываемая электронами, пропорциональна концентрации ионов, а сила трения, испытываемая ионами, — концентрации электронов. Представим эти силы как произведения коэффициента взаимного тренияR на разность скоростей и на концентрацию тормозящих частиц. Тогда система уравнений (16.1)—(16.2) примет вид

(16.3)

(16.4)

или

(16.5)

(16.6)

Плазма удовлетворяет условию электронейтральности

(16.7)

Плотность тока

(16.8)

Учитывая условие квазинейтральности(16.7), получаем

(16.9)

Если сложить уравнения (16.5) и (16.6) с учетом выражений (16.7) и (16.8), то силы электрического поля и трения взаимно уничтожатся. Уничтожение электростатических сил является следствием квазинейтральности, уничтожение сил трения — следствием третьего закона Ньютона. В результате получится уравнение магнитной гидродинамики (12.2), в котором роль скорости течения плазмы v играет средняя массовая скорость

(16.10)

Пренебрегая массой электронов в сравнении с массой ионов, можно считать среднюю массовую скорость не отличающейся от скорости ионов

(16.11)

В этом приближении из формулы (16.9) скорость электронов

(16.12)

Из законов механики следует, что передача импульса при взаимодействии пропорциональна приведенной массе взаимодействующих частиц. Удобно представить коэффициент трения в форме

(16.13)

После подстановок выражений (16.12) и (16.13) в систему (16.5)—(16.6) последняя принимает вид

(16.14)

(16.15)

ЗдесьЕ* = Е + (1/с)[vH] — электрическое поле в сопутствующей системе координат (движущейся со средней массовой скоростью плазмы). Величины имеют размерность обратного времени, т. е. частоты. Это эффективные частоты передачи импульса от электрона к ионам и от иона к электронам. По аналогии с кинетикой нейтральных частиц, где передача импульса происходит при столкновениях, величины ν часто называют эффективными частотами столкновений. Как видно из определения (16.13), они связаны соотношением

(16.16)

Величину, обратную ν, называют временем передачи импульса

(16.17)

Чтобы иметь полную систему макроскопических уравнений модели двух жидкостей, нужно кроме уравнения для массовой скорости получить также уравнение для плотности тока, которое называют обобщенным законом Ома. В общем случае получение этого уравнения осложняется тем, что субстанциональные (лагранжевы) производные содержатнелинейные члены

Простые формы обобщенного закона Ома могут быть получены для двух простейших случаев: стационарного, когда производные по времени вообще равны нулю (проводимость для постоянного тока), и для колебаний малой амплитуды, когда можно пренебречь нелинейными членами и заменить лагранжевы производные на частные производные по времени (линейные колебания). Если пренебречь членами вида (v )v, вычесть первое уравнение из второго и отбросить члены, содержащие в знаменателе большую массу М (т. е. пренебречь ускорением ионов), то с учетом равенства (16.9) получится обобщенный закон Ома в виде

(16.18)

В модели двух жидкостей учитывается только взаимодействие между электронами и ионами, для которого приведенная масса

(16.19)

т. е. близка к массе электрона. Поскольку в уравнении (16.18) члены порядка отношения массы электрона к массе иона уже отброшены, следует пренебречь также и разницей между приведенной массой и массой электрона, что мы и сделали. Величина τ в уравнении (16.18) есть время передачи импульса от электрона к ионам

(16.20)

Уравнения (16.2) и (16.18) образуют полную систему макроскопических уравнений модели двух жидкостей.