Интегрирование тригонометрических функций

Рассмотрим интегралы типа . С помощью подстановки такой интеграл всегда можно преобразовать в интеграл от рациональной дроби относительно переменной t. Действительно, т.к.

при , ,

х = 2arctgt , ,

то = – под знаком получившегося интеграла стоит рациональная функция, принцип интегрирования которой мы уже обсудили.

Подстановка называется универсальной, так как позволяет тригонометрическую функцию свести к рациональной, но иногда интегрирование получившейся рациональной дроби требует довольно сложных выкладок. Поэтому наряду с универсальной подстановкой рассматривают частные подстановки, которые в некоторых случаях упрощают вычисления.

Функцию R(u(x),v(x)) называют нечетной относительно функции и(х), если R(–u, v) = –R(u, v);

функция R(u(x),v(x)) называют нечетной относительно функции v(х), если R(u, –v) = –R(u, v);

функция R(u(x),v(x))– четная относительно и(х), если R(–u, v) = R(u, v);

функция R(u(x),v(x)) –четная относительно v(х), если R(u, –v) = R(u, v);

если R(–u, –v) = R(u, v), то функция R(u(x),v(x)) четная относительно обеих функций u и v.

А) Если в интеграле функция R(sinx, cosx) – нечетная относительно sinx, то ее можно представить в виде R₁(cosx)sinx, тогда используется подстановка cosx = t:

= .

Б) Если в интеграле функция R(sinx, cosx) – нечетная относительно cosx, то ее можно представить в виде R₁(sinx)cosx, тогда используется подстановка sinx = t:

= .

В) Если в интеграле функция R(sinx, cosx) – четная относительно sinx и cosx, то она может быть преобразована к виду R₁(tgx) или R₂(сtgx), поэтому используется подстановка tgx = t или ctgx = t соответственно:

=
= .

Рассмотрим примеры.

Пример1.

1) Найти . Используем универсальную подстановку:

2) Найти . Заметим, что функция – нечетная относительно sinx. Действительно,

R(–sinx, cosx) = = – R(sinx, cosx),

поэтому рациональнее применить не универсальную, а частную подстановку t= cosx:

.

3) Найти . В этом случае, подынтегральная функция четная относительно sinx и cosx:

,

поэтому удобно сделать подстановку t = tgx. Получим

.

Г) Рассмотрим интеграл вида Если п и т – четные , то для упрощения подынтегрального выражения используются формулы понижения степени:

В остальных случаях возможных значений п и т могут быть использованы частные подстановки А), Б), В), а так же другие преобразования подынтегральной функции.

Д) Интегралы вида , , легко вычисляются в результате применения формул

Рассмотрим примеры.

Пример2.

1)

2) .

3) .

Таким образом, интегрирование тригонометрических функций основано, по существу, на использовании тригонометрических тождеств для преобразования подынтегрального выражения.