Интегрирование рациональных функций

В предыдущей лекции мы познакомились с основными приемами вычисления неопределенного интеграла. Эти приемы не определяют точно пути, по которому следует идти, чтобы вычислить заданный интеграл, предоставляя многое искусству вычислителя.

Рассмотрим подробнее некоторые важнейшие классы функций и по отношению к их интегралам установим вполне определенный порядок вычислений.

Известны сравнительно немногие классы функций, для которых интегрирование может быть выполнено в конечном виде, т.е. первообразная может быть выражена через элементарные функции. Простейшим из таких классов является класс рациональных функций. Целые рациональные функции интегрируются просто – используя табличные формулы и свойство линейности. Поэтому рассмотрим интегрирование дробно-рациональных функций (рациональных дробей), т.е. функций вида

.

Из линейной алгебры известно, что всякую рациональную дробь можно разложить на сумму простейших дробей типа

I. ( А, а – константы)

II. , ( k ³ 2 целое число)

III. ( М, N, p, q – константы, дискриминант знаменателя меньше нуля)

IV. ( k ³ 2 целое, знаменатель не имеет корней)

Интегрирование дробей I – III типов трудностей не представляет. Действительно,

I. ,

II. ,

III.

.

Таким образом, интегрирование свелось к двум интегралам, один из которых - табличный:

,

а второй легко вычисляется подведением под знак дифференциала:

.

Интегралы IV типа требуют более сложных вычислений. Но и в этом случае выделение полного квадрата в знаменателе, а затем замена дает возможность упрощения интеграла. В частности, интеграл вида можно вычислить, используя интегрирование по частям, а можно воспользоваться рекуррентными формулами, которые имеются в любом справочнике по высшей математике.

Таким образом, если заданную рациональную дробь разложить в сумму простейших, то интегрирование этой суммы уже не составит особого труда.

Пример 1.

Найти : а) ; б) ; в) ; г)

Решение.

а) ;

б)

;

в)

= ;

г)

.

Пример 2.

Найти

Решение. Подынтегральная функция есть неправильная рациональная дробь. Сначала выделим целую часть этой дроби, для чего разделим числитель на знаменатель:

,

тогда = х – 1 + .

Рассмотрим правильную дробь и разложим ее на простейшие:

=

.

Сравнивая числители полученной и исходной дробей, находим

х² А + В = 0

х В + С = 3 Þ А = 1, В = –1 , С

св.чл. А + С = 5.

Значит, = . Тогда, искомый интеграл равен

=

=

= .