Гармонические колебания. Упругие и квазиупругие силы. Собственные колебания. Сложение гармонических колебаний.

Гармонические колебания.

Колебания, при которых изменения физических величин происходят по закону косинуса или синуса (гармоническому закону), называются гармоническими колебаниями.
Это простейший вид периодических колебаний. Конкретный вид функции (синус или косинус) зависит от способа выведения системы из положения равновесия. Если выведение происходит толчком (сообщается кинетическая энергия), то при t = 0 смещение х = 0, следовательно, удобнее пользоваться функцией sin, положив
₀' = 0; при отклонении от положения равновесия (сообщается потенциальная энергия) при t = 0 смещение х = х_m, следовательно, удобнее пользоваться функцией cos и ₀ = 0.
Выражение, стоящее под знаком cos или sin, называется фазой колебания:

Фаза колебания измеряется в радианах и определяет значение смещения (колеблющейся величины) в данный момент времени. Амплитуда колебания зависит только от начального отклонения (начальной энергии, сообщенной колебательной системе).

Упругие и квазиупругие силы.

Систему, состоящую из материальной точки массы m и абсолютно упругой пружины с коэффициентом жесткости k, в которой возможны свободные колебания, называют пружинным маятником.

Запишем второй закон ньютона для рис. Б

Т.е.

Тогда

И

Если сила не является по своей природе упругой, но подчиняется закону f = -kх, то она называется квазиупругой силой.

Получим уравнение пружинного маятника. Учтем в записи второго закона ньютона, что

Тогда

- дифференциальное уравнение точки, совершающей колебательное движение (дифференциальное уравнение пружинного маятника).

Решение дифференциального уравнения:

- уравнение колеблющейся точки (уравнение колеблющейся пружины).

- собственная частота колебаний.

Собственные колебания.

Собственные колебания (свободные колебания), колебания, которые совершаются за счет энергии, сообщенной системе в начале колебательного движения (например, в механической системе через начальное смещение тела или придание ему начальной скорости, а в электрической системе - колебательном контуре - через создание начального заряда на обкладках конденсатора). Амплитуда собственных колебаний в отличие от вынужденных колебаний определяется только этой энергией, а их частота - свойствами самой системы. Вследствие рассеяния энергии собственные колебания всегда являются затухающими колебаниями. Пример собственные колебания - звучание колокола, гонга, струны рояля и т.п.

Сложение гармонических колебаний.

Если колебательная система одновременно участвует в двух (или более) независимых колебательных движениях, возникает задача - найти результирующее колебание. В случае однонаправленных колебаний под этим понимается нахождение уравнения результирующего колебания; в случае взаимно перпендикулярных колебаний - нахождение траектории результирующего колебания.

Метод векторных диаграмм

Рассмотрим вращающийся против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью  вектор а. Очевидно, что угол  = t + _ где _ - начальный угол.

Проекции вектора а на оси координат запишутся:

Видно, что проекции вращающегося вектора на оси координат по форме совпадают с уравнением гармонических колебаний, если угловой скорости вектора сопоставить угловую частоту колебаний, а начальному углу - начальную фазу.

Проводя аналогию дальше, можно сказать, что результат сложения двух однонаправленных колебаний можно получить следующим путем: необходимо сложить два вектора, а проекции суммарного вектора на оси координат будут являться уравнениями результирующего колебания. Рассмотрим этот метод на примере сложения двух колебаний с произвольными частотами. Пусть наше тело участвует в двух совпадающих по направлению колебаниях:

Сопоставим этим колебаниям два вектора а₁ и а₂, вращающихся с соответствующими угловыми скоростями.

Сопоставляем колебаниям проекции векторов на ось y. Задача сложения колебаний сводится к нахождению проекции вектора а на ось y (амплитуда результирующего колебания) и угла (фаза результирующего колебания).

Из очевидных геометрических соображений находим:

Отметим, что в общем случае сложения колебаний с разными частотами амплитуда результирующего колебания будет зависеть от времени. Если же частоты одинаковы, то , то есть зависимость от времени исчезает. На языке векторной диаграммы это означает, что складываемые векторы при своем вращении не меняют своего относительного положения. В этом случае формулы для амплитуды и фазы результирующего колебания запишутся так:

Рассмотрим сложение двух однонаправленных колебаний с неравными, но близкими частотами, то есть , и пусть для определенности . Для простоты пусть начальные фазы и амплитуды этих колебаний равны. В результате сложения двух колебаний

Получим уравнение суммарного колебания:

Полученное результирующее колебание не является гармоническим (сравни с уравнением (1)); такого вида колебания носят название биений, название понятно, если посмотреть на график колебаний.

посмотреть на осциллографе

Величина, стоящая перед синусом, меняется со временем относительно медленно, так как разность частот мала. Эту величину условно называют амплитудой биений, а разность складываемых частот - частотой биений (циклической).

При сложении взаимно перпендикулярных колебаний необходимо найти уравнение траектории тела, то есть из уравнений колебаний типа x = x(t), y = y(t) исключить t и получить зависимость типа y(x).

Например, сложим два колебания с одинаковыми частотами:

Исключив время, получим:

В общем случае это - уравнение эллипса. При a₁=a₂ - окружность, при (m - целое) - отрезок прямой.

Вид траектории при сложении взаимно перпендикулярных колебаний зависит от соотношения амплитуд, частот и начальных фаз складываемых колебаний. Получающиеся кривые носят название фигур лиссажу.

1. Собственные затухающие механические колебания. Величины, характеризующие быстроту затухания колебаний: коэффициент затухания, логарифмический декремент затухания, добротность, их физический смысл. Апериодический процесс.

Во всякой реальной системе, совершающей механические колебания, всегда действуют те или иные силы сопротивления (трение в точке подвеса, сопротивление окружающей среды и т.п.), на преодоление которых система затрачивает энергию, вследствие чего реальные свободные механические колебания всегда являются затухающими.

Затухающие колебания- это колебания, амплитуда которых убывает со временем.

Найдем закон изменения амплитуды.

Для пружинного маятника массой m, совершающего малые колебания под действием упругой силы сила трения пропорциональна скорости:

Где r- коэффициент сопротивления среды; знак минус означает, что всегда направлена противоположно скорости.

Согласно ii закону ньютона уравнение движения маятника имеет вид:

Обозначим:

дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний.

Решением этого уравнения является выражение:

,

Где циклическая частота свободных затухающих колебаний,

w₀- циклическая частота свободных незатухающих колебаний,

b - коэффициент затухания,

A₀- амплитуда в начальный момент времени (t=0).

- закон убывания амплитуды.

С течением времени амплитуда убывает по экспоненциальному закону (рис. 3).

Величины, характеризующие быстроту затухания колебаний: коэффициент затухания, логарифмический декремент затухания, добротность, их физический смысл.

.коэффициент затухания β.

Изменение амплитуды затухающих колебаний происходит по экспоненциальному закону:

.

Пусть за время τ амплитуда колебаний уменьшится в “e ” раз (“е” – основание натурального логарифма, е ≈ 2,718). Тогда, с одной стороны, , а с другой стороны, расписав амплитуды а_зат.(t) и а_зат.(t+τ), имеем . Из этих соотношений следует βτ = 1, отсюда .

Промежуток времени τ, за который амплитуда уменьшается в “е” раз, называется временем релаксации.

Коэффициент затухания β – величина, обратно пропорциональная времени релаксации.

Логарифмический декремент затухания δ - физическая величина, численно равная натуральному логарифму отношения двух последовательных амплитуд, отстоящих по времени на период .

Если затухание невелико, т.е. Величина β мала, то амплитуда незначительно изменяется за период, и логарифмический декремент можно определить так:

,

Где а_зат.(t) и а_зат.(t+nt) – амплитуды колебаний в момент времени е и через n периодов, т.е.в момент времени (t + nt).

Добротность q колебательной системы – безразмерная физическая величина, равная произведению величины (2π) νа отношение энергии w(t) системы в произвольный момент времени к убыли энергии за один период затухающих колебаний:

.

Так как энергия пропорциональна квадрату амплитуды, то

.

При малых значениях логарифмического декремента δ добротность колебательной системы равна

,

Где n_e – число колебаний, за которое амплитуда уменьшается в “е” раз.

Так, добротность пружинного маятника - .чем больше добротность колебательной системы, тем меньше затухание, тем дольше будет длиться периодический процесс в такой системе. Добротность колебательной системы - безразмерная величина, которая характеризует диссипацию энергии во времени.

Апериодический процесс.

При большом коэффициенте затухания происходит не только быстрое уменьшение амплитуды, но и заметно увеличивается период колебаний. Когда сопротивление становится равным критическому , а то круговая частота обращается в нуль, а колебания прекращаются. Такой процесс называется апериодическим (рис. 1).

Рис. 1

2. Вынужденные механические колебания. Резонанс. Резонансные кривые для амплитуды смещения.

Вынужденные механические колебания.

Колебания, совершающиеся под воздействием внешней периодической силы, называются вынужденными.

В этом случае внешняя сила совершает положительную работу и обеспечивает приток энергии к колебательной системе. Она не дает колебаниям затухать, несмотря на действие сил трения.

Периодическая внешняя сила может изменяться во времени по различным законам. Особый интерес представляет случай, когда внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону с частотой ω, воздействует на колебательную систему, способную совершать собственные колебания на некоторой частоте ω₀.

Если свободные колебания происходят на частоте ω₀, которая определяется параметрами системы, то установившиеся вынужденные колебания всегда происходят на частоте ω внешней силы.

После начала воздействия внешней силы на колебательную систему необходимо некоторое время δt для установления вынужденных колебаний. Время установления по порядку величины равно времени затухания τ свободных колебаний в колебательной системе.

В начальный момент в колебательной системе возбуждаются оба процесса – вынужденные колебания на частоте ω и свободные колебания на собственной частоте ω₀. Но свободные колебания затухают из-за неизбежного наличия сил трения. Поэтому через некоторое время в колебательной системе остаются только стационарные колебания на частоте ω внешней вынуждающей силы.

Резонанс.

Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при ν = ν_coб называется резонансом.

График зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты изменения внешней силы изображен на рисунке 1. Этот график называют резонансной кривой. Максимум этой кривой приходится на частоту ν, равную собственной частоте колебаний ν_соб.

Рис.1

Резонансные кривые для амплитуды смещения.

Амплитуда установившихся вынужденных колебаний пропорциональна амплитуде вынуждающей силы. Исследуем зависимость амплитуды колебаний от частоты со вынуждающей силы. При малом затухании у эта зависимость имеет очень резкий характер. Если, то при стремлении со к частоте свободных колебаний амплитуда вынужденных колебаний а стремится к бесконечности, что совпадает с полученным ранее результатом. При наличии затухания амплитуда колебаний в резонансе уже не обращается в бесконечность, хотя и значительно превышает амплитуду колебаний под действием внешней силы той же величины, но имеющей частоту, далекую от резонансной. Резонансные кривые при разных значениях постоянной затухания у приведены на рис. 1.

Рис.1

3. Свободные гармонические колебания в идеальном колебательном контуре.

Свободные гармонические колебания в идеальном колебательном контуре.

Среди различных электрических явлений особое место занимают электромагнитные колебания, при которых электрические величины (заряды, токи) периодически изменяются и которые сопровождаются взаимными превращениями электрического и магнитного полей. Для возбуждения и поддерживания электромагнитных колебаний используется колебательный контур - цепь, состоящая из включенных последовательно катушки индуктивностью l, конденсатора емкостью с и резистора сопротивлением r.

Рассмотрим последовательные стадии колебательного процесса в идеальном контуре, сопротивление которого пренебрежимо мало . Для возбуждения в контуре колебаний конденсатор предварительно заряжают, сообщая его обкладкам заряды ±q. Тогда в начальный момент времени t=0 (рис.202,а) между обкладками конденсатора возникнет электрическое поле, энергия которого . Если замкнуть конденсатор на катушку индуктивности, он начнет разряжаться, и в контуре потечет возрастающий со временем ток i. В результате энергия электрического поля будет уменьшаться, а энергия магнитного поля катушки (она равна ) - возрастать.

Так как , то, согласно закону сохранения энергии, полная энергия

,

Так как она на нагревание не расходуется. Поэтому в момент , когда конденсатор полностью разрядится, энергия электрического поля обращается в нуль, а энергия магнитного поля (а следовательно, и ток) достигает наибольшего значения (рис. 202,б). Начиная с этого момента, ток в контуре будет убывать; следовательно, начнет ослабевать магнитное поле катушки, и в ней индуцируется ток, который течет (согласно правилу ленца) в том же направлении, что и ток разрядки конденсатора. Конденсатор начнет перезаряжаться, возникнет электрическое поле, стремящееся ослабить ток, который, в конце концов, обратится в нуль, а заряд на обкладках конденсатора достигнет максимума (рис.202,в). Далее те же процессы начнут протекать в обратном направлении (рис.202,г) и система к моменту времени t=t придет в первоначальное состояние (рис. 202,а). После этого начнется повторение рассмотренного цикла разрядки и зарядки конденсатора. Если бы потерь энергии не было, то в контуре совершались бы периодические незатухающие колебания, т.е. Периодически изменялись (колебались) бы заряд q на обкладках конденсатора, напряжение u на конденсаторе и сила тока i, текущего через катушку индуктивности. Следовательно, в контуре возникают электрические колебания, причем колебания сопровождаются превращениями энергий электрического и манитного полей.

Согласно закону ома, для контура, содержащего катушку индуктивностью l, конденсатор емкостью с и резистор сопротивлением r,

,

Где ir - напряжение на резисторе, u_c =q/c - напряжение на конденсаторе, - эдс самоиндукции, возникающая в катушке при протекании в ней переменного тока (e_s - единственная эдс в контуре). Следовательно,

.

Разделив на l и подставив и , получим дифференциальное уравнение колебаний заряда q в контуре:

.

В данном колебательном контуре внешние эдс отсутствуют, поэтому рассматриваемые колебания представляют собой свободные колебания. Если контур идеальный, т.е. Сопротивление r=0, то свободные электромагнитные колебания в контуре являются гармоническими. Тогда из составленного уравнения получим дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний заряда в контуре

.

Из уравнения такого вида следует, что заряд q совершает гармонические колебания по закону

Где q_m - амплитуда колебаний заряда конденсатора с циклической частотой ω_о, называемой собственной частотой контура, т. Е.

,

И периодом

.

Такая формула впервые была получена у.томсоном и называется формулой томсона.

Сила тока в колебательном контуре

Где - амплитуда силы тока.

Напряжение на конденсаторе

Где - амплитуда напряжения.

Из полученных формул вытекает, что в идеальном колебательном контуре колебания тока i опережают по фазе колебания заряда q на π/2, т. Е., когда ток достигает максимального значения, заряд (а также и напряжение обращается в нуль, и наоборот.

4. Свободные (затухающие) колебания в последовательном колебательном контуре. Величины, характеризующие быстроту затухания колебаний: коэффициент затухания, логарифмический декремент затухания, добротность, их физический смысл. Условие превращения колебаний в апериодический процесс. Критическое сопротивление.

Свободные (затухающие) колебания в последовательном колебательном контуре.

Свободные колебания в последовательном колебательном контуре.

Последовательный колебательный контур (рис. 1) содержит конденсатор емкостью c и катушку индуктивностью l и сопротивлением r. Пусть в момент времени t = 0 на конденсаторе имеется заряд . При разрядке конденсатора через катушку возникнет ток и на основе второго закона кирхгофа

(1)

Учитывая, что уравнение (1) может быть преобразовано к виду

,

(2)

Где

, ,

(3)

(a - коэффициент затухания, w₀ – собственная частота контура).

Если , решение уравнения (2)может быть записано в виде:

,

(4)

Где .

Таким образом, при зависимость заряда на конденсаторе от времени имеет характер затухающих колебаний, частота которых w, называемая частотой свободных колебаний, несколько меньше собственной частоты контура w₀. Постоянные q_m и j зависят от начальных условий. В рассматриваемом случае можно считать w»w₀ и j»0; тогда (4) принимает вид:

.

(5)

Закон изменения силы тока можно найти, дифференцируя (5) по времени с учетом, что . Тогда

.

(6)

Уравнение (6) дает следующее соотношение между амплитудами тока и напряжения:

,

Волновое или характеристическое сопротивлением контура и является одной из его основных характеристик, так как активное сопротивление контура не влияет на соотношение между u_m и i_m; оно определяет лишь степень затухания колебаний, т.е. Быстроту уменьшения амплитуд с течением времени.

Кроме коэффициента затухания a для характеристики затухающих колебаний пользуются логарифмическим декрементом затухания, который равен натуральному логарифму отношения амплитуд колебаний, взятых через период т:

.

(8)

Важным параметром колебательного контура является добротность q, характеризующая относительную убыль энергии в процессе колебаний:

.

(9)

Энергия теряемая в контуре за один период, согласно закону джоуля – ленца, равна , где i – эффективное значение переменного тока. Энергия, запасенная колебательной системой, равна максимальной энергии, накопленной конденсатором или катушкой индуктивности: . Подставляя в (9) выражения для w и w_т, получим:

.

(10)

Величины, характеризующие быстроту затухания колебаний: коэффициент затухания, логарифмический декремент затухания, добротность, их физический смысл, коэффициент затухания β.

Изменение амплитуды затухающих колебаний происходит по экспоненциальному закону:

.

Пусть за время τ амплитуда колебаний уменьшится в “e ” раз (“е” – основание натурального логарифма, е ≈ 2,718). Тогда, с одной стороны, , а с другой стороны, расписав амплитуды а_зат.(t) и а_зат.(t+τ), имеем . Из этих соотношений следует βτ = 1, отсюда .

Промежуток времени τ, за который амплитуда уменьшается в “е” раз, называется временем релаксации.

Коэффициент затухания β – величина, обратно пропорциональная времени релаксации.

Логарифмический декремент затухания δ - физическая величина, численно равная натуральному логарифму отношения двух последовательных амплитуд, отстоящих по времени на период .

Если затухание невелико, т.е. Величина β мала, то амплитуда незначительно изменяется за период, и логарифмический декремент можно определить так:

,

Где а_зат.(t) и а_зат.(t+nt) – амплитуды колебаний в момент времени е и через n периодов, т.е.в момент времени (t + nt).

Добротность q колебательной системы – безразмерная физическая величина, равная произведению величины (2π) νа отношение энергии w(t) системы в произвольный момент времени к убыли энергии за один период затухающих колебаний:

.

Так как энергия пропорциональна квадрату амплитуды, то

.

При малых значениях логарифмического декремента δ добротность колебательной системы равна

,

Где n_e – число колебаний, за которое амплитуда уменьшается в “е” раз.

Так, добротность пружинного маятника - .чем больше добротность колебательной системы, тем меньше затухание, тем дольше будет длиться периодический процесс в такой системе. Добротность колебательной системы - безразмерная величина, которая характеризует диссипацию энергии во времени.

Условие превращения колебаний в апериодический процесс.

При большом коэффициенте затухания происходит не только быстрое уменьшение амплитуды, но и заметно увеличивается период колебаний. Когда сопротивление становится равным критическому , а то круговая частота обращается в нуль, а колебания прекращаются.

Чем больше сопротивление r, тем больше коэффициент затухания и тем быстрее завершается переходный процесс. При , когда , переходный процесс из колебательного превращается в апериодический. Теоретически можно представить себе контур без потерь с , в котором существуют незатухающие колебания с частотой . В контуре без потерь имеет место переменный обмен энергией между с и l, при котором энергия электрического поля конденсатора преобразуется в энергию магнитного поля индуктивности, а затем наоборот. В реальных электрических цепях r>0, поэтому переходный процесс имеет затухающий характер.

Критическое сопротивление.

Сопротивление контура, при котором колебательный процесс переходит в апериодический, называется критическим (r_кр).

Значение критического сопротивления: ,