Возможные орбиты в модели атома водорода

Свои постулаты Н.Бор применил для построения теории простейшей атомной системы – атома водорода, состоящего из ядра – протона, и одного электрона. Эта теория также применима для водородоподобных ионов, то есть атомов с зарядом ядра Ze и потерявших все электроны, кроме одного (например, Li²⁺, Be³⁺ и т.п.). В предположении, что электрон движется по круговой орбите, постулаты Бора позволяют найти радиусы r_n стационарных, возможных орбит электрона.

На электрон действует кулоновская сила:

F_k = (1/4πε₀) (е²/r_n²)

где е – модуль заряда электрона, равный заряду ядра, ε₀ = 8,85 * 10^-12 Ф/м – электрическая постоянная.

Кулоновская сила сообщает электрону на орбите центростремительное ускорение:

a_ц = (v_n²) / r_n

Согласно второму закону Ньютона: F_k = ma_ц

Поэтому (mv_n²) / r_n = e² / (4πε₀r_n²)

или mv_n²r_n = e² / (4πε₀)

Используя правило квантования орбит

mv_nr_n = n ћ,

можно получить выражения для возможных радиусов орбит (электрон, согласно теории Бора, двигаясь по круговой орбите, обладает дискретными квантованными значениями момента импульса).

Радиус n-й стационарной орбиты (получается при решении исходных уравнений):

(n= 1,2, 3…),

тогда радиус ближайшей к ядру орбиты (n=1)- первый боровский радиус

, т.е. а=52,8 пм (зависит лишь от фундаментальных постоянных)

Связь r_n и r_1: r_n=n²r_{1, тогда}

Радиусы орбит квантованы , 4 , 9 , … . (e- элементарный заряд, r_n- радиус n-й стационарной орбиты; скорость электрона на n-й орбите, m_e- масса электрона; n- квантовое число; а- первый Боровский радиус)