Превращение энергии при колебательном движении

Вычислим энергию тела массой m, совершающего свободные гармонические колебания с амплитудой x₀, и циклической частотой w₀. Потенциальная энергия Е_п тела, смещенного на расстояние х от положения равновесия, измеряется той работой, которую произведет возвращающая сила (для пружинного маятника; для других систем аналогично), перемещая тело в положение равновесия. Эту работу можно найти, воспользовавшись формулой

,

откуда

.

Заменив х по формуле , получим

.

Кинетическую энергию найдем, подставив в формулу выражение для :

.

Заменив в уравнении для потенциальной энергии k через и сложив почленно выражения для и , получим следующее выражение для полной энергии Е колеблющегося тела:

.

Таким образом, полная механическая энергия тела, совершающего гармонические колебания, пропорциональна квадрату амплитуды колебаний. В случае свободных незатухающих колебаний полная механическая энергия не должна зависеть от времени. Поэтому амплитуда x₀ колебаний тоже не зависит от времени.

Потенциальная и кинетическая энергия колеблющегося тела пропорциональны квадрату амплитуды колебаний. Кинетическая и потенциальная энергии при свободных незатухающих гармонических колебаниях изменяются периодически.

Однако период изменения энергии в два раза меньше периода изменения смещения, скорости и ускорения. За время одного полного колебания кинетическая и потенциальная энергии дважды достигают своих амплитудных значений и дважды обращаются в нуль. Это связано с тем, что и пропорциональны квадратам косинуса и синуса фазы колебаний.

Максимальная потенциальная энергия тела, совершающего свободные гармонические колебания равна . Максимальная кинетическая энергия этого тела также равна .