Передаточные функции различных систем.

Передаточные функции разомкнутой и замкнутой систем.

Рассмотрим структурную схему САУ, работающей по замкнутому циклу (см. рис.39)

Рис.39

Здесь f – задающее воздействие

φ – возмущающее воздействие

x – управляемая переменная ( выходная величина САУ ).

Используя принцип суперпозиции, рассмотрим в отдельности передаточные функции по задающему и возмущающему воздействиям.

При определении передаточных функций по задающему воздействию будем полагать .Тогда с использованием правил структурных преобразований получим

(25)

Передаточная функция замкнутой системы по ошибке

определяется из системы уравнений

Исключая из последней системы X(p) , получим

В выражениях (25), (26) участвует так называемая передаточная функция разомкнутой системы

Которое определиться как отношение изображения X₁(p) к изображению ∆X(p) при нулевых начальных условиях

.

Передаточная функция разомкнутой системы имеет большое значение в теории автоматического регулирования . Многие методы анализа и синтеза САУ основаны на использовании этой функции.

Передаточная функция САУ по возмущающему воздействию определится выражением

(27)

Рассмотрим замкнутую систему с единичной обратной связью при наличии только задающего воздействия . Структурная схема системы приведена на рис. .Она получается из предыдущей схемы при W_oc(p)=1 и W(p)=W₁(p)W₂(P) .

Рис.40

В этом случае зависимости (25), (26) принимают вид

(28)

(29)

Здесь W(p) – передаточная функция разомкнутой системы .

Передаточная функция статической и астатической систем.

Рассмотрим замкнутую систему с единичной обратной связью . Пусть f(t)=1(t). Тогда F(p)=1/p и изображение сигнала ошибки ∆x(t) имеет вид

.

Обозначим , где A(p) , B(p) – многочлены , не имеющие общих множителей ,

Тогда

Найдем

По теореме о предельном переходе

(30)

Из этого следует , что , так как A(0)+B(0) 0 , то

В первом случае мы имеем дело со статической системой и , таким образом , у нее передаточная функция разомкнутой системы имеет отличный от нуля свободный коэффициент характеристического многочлена , т.е.

Общий случай.

Во втором случае система является астатической .При этом А(0)=0 , т.е. а₀=0 и передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

(31)

Система с такой передаточной функцией называется системой с астатизмом первого порядка.

В случае , когда а₀=а₁=0 имеем

(32)

Это передаточная функция разомкнутой системы с астатизмом второго порядка. Очевидно , что при этом для входного сигнала f(t)=gt

Рассмотрим общий случай . Пусть

(33)

и

Тогда с использованием теоремы о предельном переходе получим

.

Из (33) имеем

,

где

Выражение для Ф₀(p) – передаточной функции замкнутой системы по ошибке имеет вид

Тогда с учетом введенных обозначений

Могут представится три случая :

1. r > e , т.е. порядок астатизма больше степени номинального входного сигнала . При этом

2. r = e . При этом

и является конечной величиной.

3. r < e , т.е. порядок астатизма меньше степени номинального входного сигнала. При этом .