Временные характеристики САУ.

Временные характеристики САУ.

Ранее для описания динамических свойств САУ и их элементов использовались дифференциальные уравнения и передаточные функции. Динамические свойства звеньев могут быть также определены по его переходной функции ( переходной характеристики ) и импульсной переходной функции ((весовой функции), (функции веса)).

Переходная функция системы (звена) представляет собой переходный процесс на выходе , возникающий при подаче на вход единичной ступенчатой функции 1(t) при нулевых начальных условиях. Стандартные обозначения переходной функции h(t) (см. рис.41)

Рис.41.

Если входное воздействие представляет собой запаздывающую единичную ступенчатую функцию, f(t)=1(t - a), то при нулевых начальных условиях на выходе будет наблюдаться реакция h(t-a), a = const .

Импульсная переходная функция системы или звена представляет собой переходный процесс на выходе , возникающий при подаче на вход δ – функции при нулевых начальных условиях . Она обозначается как w(t) (см. рис.42)

Рис.42.

Связь между переходной характеристикой и импульсной переходной функцией.

Установим связь между переходной характеристикой и импульсной переходной функцией . Рассмотрим дифференциальное уравнение звена

Продифференцируем однократно последнее неравенство . Получим

Сравнивая (34) и (36), найдем

(37)

Отметим, что h(t) 0 при t<0 , w(t) 0 при t<0 . Это следует , в частности , из физических соображений : следствие не может появиться раньше причины . В общем случае при t<a , w(t-a) 0 , при t<a.

Таким образом помимо дифференциального уравнения для описания одного и того же звена можно использовать :

- передаточную функцию W(p) ,

- переходную характеристику h(t),

- импульсную переходную функцию w(t).

Связь между h(t) и w(t) задается выражением (37). Установим связь между w(t) и W(t), а также между h(t) и W(p).

Уравнение звена в изображениях имеет вид

Таким образом

т.е. преобразование Лапласа импульсной переходной функцией звена представляет собой переходную функцию того же звена .

Пусть f(t)=1(t). Тогда F(p)=1/p и из (38) получим

Пример. Пусть Найдем импульсную переходную функцию и переходную характеристику этого звена .

и тогда

Для переходной характеристики получим

.

Интегральная связь выходной координаты с входной.

Рассмотрим определение выходной координаты звена или системы при произвольном входном воздействии f(t) . Звено имеет передаточную функцию W(p) , импульсную переходную функцию w(t) и переходную характеристику h(t).

Запишем уравнение звена в изображениях

X(p)=F(p) W(p).

По теореме свертки во временной области

Где f(t) – оригинал , соответствующий изображению F(p) , т.е. входной сигнал ; w(t) – оригинал , соответствующий изображению W(p) , т.е. импульсная переходная функция.

Таким образом

(39)

или с учетом свойства коммутативности свертки

При этом при t<0 . Это следует , например , из (39) . В этом выражении при , т.е.

при t<0 .

Пример . Пусть уравнение САУ имеет вид

Определить выходную координату системы.

Находим импульсную переходную функцию , т.е. решение уравнения

С помощью преобразования Лапласа имеем

С использованием зависимости (39) найдем

Получим интегральную связь , выражающую выходной сигнал через входной с помощью переходной характеристики . Обозначим

Тогда из (38) имеем

(39)

По теореме об изображении производной

отсюда следует, что

(40)

Объединяя (39), (40), можно записать

после чего, переходя к оригиналам, с учетом теоремы свертки получим

(41)

Применение формулы (41) для предыдущего примера дает следующий результат :