Положение плоскости в пространстве
Положение плоскости в пространстве можно определить:
1. Тремя точками, не лежащими на одной прямой;
2. Прямой и точкой вне ее;
3. Двумя пересекающимися прямыми;
4. Двумя параллельными прямыми (рис.1).
![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | δ (b ║ с) |
Рис. 1. |
![]() |
Рис. 2. |
Плоскость может быть задана также отсеками плоской фигуры (рис.2).
Возможны следующие положения плоскости относительно плоскостей проекций:
1.Плоскость, не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций, называется плоскостью общего положения (рис.1 и 2).
2. Частные положения плоскости:
а) Плоскость, перпендикулярная к горизонтальной плоскости проекций , называется горизонтально-проецирующей (рис.3). Горизонтальная проекция такой плоскости представляет собой прямую, являющуюся следом этой плоскости
=
∩
угол
, который образуется между плоскостью
и
, проецируется на плоскость
без искажения.
Горизонтальные проекции всех точек и любых фигур, лежащих в горизонтально-проецирующей плоскости, совпадают со следом этой плоскости α1= (АВС)∩
(рис. 3).
![]() | ![]() |
Рис. 3. |
б) Плоскость, перпендикулярная к фронтальной плоскости проекций , называется фронтально-проецирующей плоскостью, изображается следом плоскости, полученной от пересечения заданной плоскости
(АВС) с фронтальной плоскостью проекций
.
=
(АВС)∩
.
![]() | ![]() |
Рис. 4. |
Фронтальные проекции всех точек и фигур, лежащих в этой плоскости, совпадают с ее фронтальным следом. Угол φ между плоскостью и
проецируется без искажения, т.е.φ2 ≡ φ (рис. 4.).
Плоскость, перпендикулярная к профильной плоскости проекций называется профильно-проецирующей плоскостью.
Частный случай, когда профильно-проецирующая плоскость проходит через ось ОХ и делит пополам угол между плоскостями и
- плоскость симметрии (рис.5).
![]() |
![]() | |
Рис.5 | ||
Основные свойства проецирующих плоскостей состоят в том, что все геометрические образы, лежащие в них, на одной из плоскостей проекций изображаются прямой, совпадающей со следом плоскости, т.е. с линией пересечения проецирующей плоскости с соответствующей плоскостью проекций.
Плоскости, перпендикулярные к двум плоскостям проекций, называется плоскостями уровня. Плоскость δ
и
. Фронтальная и профильная проекция такой плоскости – горизонтальные прямые. Любая фигура, расположенная в плоскости δ2 на горизонтальную плоскость проекций проецируется без искажения.
а) Плоскость δ, параллельная горизонтальной плоскости проекций , называется горизонтальной плоскостью (рис.6). Изображается следом плоскости, полученным от пересечения плоскости δ с плоскостью проекций
: δ2= δ
. АВС
δ; А2В2С2
δ2; А1В1С1=АВС.
![]() | ![]() |
Рис.6. |
б) Плоскость , параллельная плоскости
, называется фронтальной (рис.7).
1=
. АВС
; А1В1С1
1; А2В2С2=АВС.
![]() |
![]() |
Рис.7. |
Любая фигура, расположенная в этой плоскости, проецируется на без искажений.
Все геометрические образы, расположенные в плоскостях, параллельных плоскостям проекций, проецируются на эти плоскости проекций без искажения.
3.2. ПРЯМАЯ И ТОЧКА В ПЛОСКОСТИ
1. Прямая принадлежит плоскости, если она имеет с этой плоскостью две общие точки (рис.8).
2. Прямая принадлежит плоскости, если она имеет с плоскостью одну общую точку и параллельна прямой, лежащей в этой плоскости (рис.9).
![]() | ![]() | |
Рис.8. | Рис.9 | |
с ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | С ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
Построение точки в плоскости производится, исходя из условия, что она должна находиться на прямой, лежащей в этой плоскости. Т.о. задача на построение точки в плоскости сводится к задаче на построение прямой в этой плоскости (рис.10). Чтобы построить горизонтальную проекцию точки М, принадлежащей плоскости (а
b), нужно провестипрямую ℓ
(а
b); [12]
ℓ; [1222]
ℓ2; [1121]
ℓ1; М2
ℓ2 ; М1
ℓ1 .
![]() |
Рис.10 |
3.3. ГЛАВНЫЕ ЛИНИИ ПЛОСКОСТИ
Главными линиями плоскости называются прямые, лежащие в данной плоскости и параллельные плоскостям проекций ,
или
. Линии плоскости, параллельные
называются горизонталями плоскости; линии плоскости, параллельные
– фронталями плоскости; линии плоскости, параллельные
– профильными прямыми (рис.11).
Линии наибольшего ската – прямые, проведенные по плоскости перпендикулярно к горизонталям (рис.12).
Линия наибольшего ската и ее горизонтальная проекция образуют линейный угол, которым измеряется двугранный угол, составленный плоскостью (f ∩ h) и плоскостью проекций
.
С помощью главных линий плоскости оказывается удобным решать вопросы о взаимном расположении точки и плоскости (рис.13). Дана плоскость (f ∩ h) и точка А. Нужно определить принадлежит ли точка А плоскости. Для этого через точку А проводим горизонталь. Горизонтальная проекция точки А вне горизонтали, значит точка А не лежит в плоскости.
![]() | ![]() |
Рис.11 | Рис.12а |
![]() | ![]() |
Рис. 12б | Рис. 13 |