Вывод уравнения теплопроводности

Закон сохранения тепловой энергии. Закон теплопроводности.

Контрольный объем Приращение и дифференциал

плотности теплового потока

Вывод уравнения теплопроводности

- объемная плотность тепловыделений (количество энергии, (выделенное, поглощённое) в единицу времени в единице объёма). .

Тепловой поток, поступающий через левую грань контрольного объема

(1.11)

Тепловой поток, уходящий через правую грань контрольного объема

(1.12)

Приращение теплового потока на правой грани контрольного объема:

(1.13)

Количество теплоты, поступившее в контрольный объем вдоль оси х:

(1.14)

Далее аналогично вдоль оси y:

(1.15)

вдоль оси z:

(1.16)

Изменение теплового потока в выделенном объеме за счет теплопроводности:

(1.17)

Изменение теплового потока за счет внутренних источников:

(1.18)

Изменение внутренней энергии вещества выделенного объема:

(1.19)

Уравнение теплового баланса:

(1.20)

После подстановки и сокращения на элементарный объем получаем:

(1.21)

Окончательно Д.У. теплопроводности:

(1.22)

Для случая λ=const

(1.23)

или

,	(1.24)
где

А – коэффициент температуропроводности, м²/с.

(Лапласиан), - набла.

Физико-математическая формулировка задач теплопроводности:

1. Геометрические условия:

· Геометрическая форма

· Размеры

· Положение в пространстве

2. Физические условия (Физические свойства тела):

· (оэффициент теплопроводности как функции температуры)

· (плотность)

· Удельная теплоёмкость

3. Краевые условия:

· Начальные условия (в начальный момент времени)

· Граничные условия – условия, поставленные на границах рассматриваемой системы.

Виды граничных условий:

1. Граничные условия I-го рода – задаётся значение функции температуры в момент времени на рассматриваемой границе

2. Граничные условия II-го рода – задаётся значение плотности теплового потока на рассматриваемой границе.

3. Граничные условия III-го рода – задаётся условие теплообмена между жидкостью и стенкой ( -коэффициент теплоотдачи, и . Напомним, что процесс теплоотдачи это теплообмен между стенкой и омывающей ее жидкостью. Величина, характеризующая интенсивность теплообмена между стенкой и жидкостью называют коэффициентом теплоотдачи.

4. Граничные условия IV рода – условия сопряжения (равенства) тепловых потоков на границе раздела 2-х сред

→ .