Подавление стационарных помех

Цель данного раздела – показать возможность повышения отношения сигнал-помеха, а также другие преимущества методов подавления помех при использовании адаптивных фильтров по сравнению с обычными методами фильтрации помех.

Как отмечалось раньше, при подавлении помех фильтры с постоянными параметрами в большинстве случаев неприменимы, так как в общем случае автокорреляционная и взаимокорреляционная функции входного и эталонного сигналов неизвестны и часто являются изменяющимися во времени. Поэтому необходимо сначала обучать адаптивные фильтры по обучающим статистикам, а затем осуществлять слежение за ними, если они медленно меняются. Однако для стационарных входных сигналов установившийся режим работы медленно адаптирующихся фильтров приближается к режиму работы винеровских фильтров, поэтому удобным математическим аппаратом для анализа статистических задач подавления помех является винеровская теория фильтрации.

На рис. 19.2. представлена несколько более подробная схема системы, показанной на рис. 19.1. Здесь показан один из способов получения входного сигнала и помех на входах системы. Входной сигнал представляет собой сумму сигнала s_k и двух помех – n_k и m_0k, а эталонный сигнал – сумму двух других помех m_1k и n_k, пришедший через тракт с импульсной характеристикой h_k и передаточной функцией H(z). Обе помехи – n_k на входе системы и n_k, прошедшая через тракт с h_k имеют общий источник и являются коррелированными между собой и не коррелированными с сигналом s_k. Предполагается также, что их энергетические спектры ограничены на всех частотах. Помехи m_0k и т_1k некоррелированы между собой, с s_k, п_k на входе системы и п_k, прошедшей через тракт, с h_k. Для дальнейшего анализа будем считать, что все тракты распространения помех эквивалентны линейным фильтрам с постоянными параметрами.

Рис. 19.2. Одноканальное адаптивное устройство подавления помех с коррелированной и некоррелированной помехами на входе устройства и на эталонном входе

Схема подавления помех на рис. 19.2. включает в себя адаптивный фильтр, входной сигнал x_k (эталонный сигнал устройства подавления) которого равен сумме т_1k и n_k, прошедший через тракт с h_k, а полезный отклик (входной сигнал устройства подавления) d_k = s_k + m_0k + n_k.Сигналом ошибки ε_k является выходной сигнал устройства подавления. Если считать, что адаптивный процесс завершен и найдены оптимальные в смысле минимума СКО весовые коэффициенты (оптимальное решение), то адаптивный фильтр эквивалентен винеровскому фильтру с передаточной функцией

W*(z) = Ф_xd(z)/Ф_xx(z), (19.7)

где Ф_xx(z) – спектр входного сигнала фильтра;

Ф_xd(z) – взаимный энергетический спектр входного сигнала фильтра и полезного отклика.

Оптимальное решение для устройства подавления на рисунке 19.2 желательно иметь по следующей причине. Выходной сигнал – это сигнал ошибки винеровского фильтра, т.е. сигнал ошибки ε_k не коррелирован с входным сигналом фильтра s_k. Следовательно, на входе системы полностью подавляются все составляющие помехи, коррелированные с составляющими помехи на эталонном входе. Однако другие составляющие не подавляются и оказываются на выходе системы.

Оптимальная передаточная функция адаптивного фильтра W*(z) есть винеровское решение (19.7), для которого теперь можно получить следующее обобщение. Спектр входного сигнала фильтра Ф_xx(z) можно выразить через спектры его двух некоррелированных составляющих. Спектр помехи т₁ – Ф_т1т1(z), а спектр помехи п, прошедшей через тракт с H(z), – Ф_nn(z) |H(z)|². Отсюда спектр входного сигнала фильтра

Ф_xx(z) = Ф_т1т1(z) + Ф_nn(z) |H(z)|². (19.8)

Взаимный энергетический спектр входного сигнала фильтра и полезного отклика зависит только от коррелированных составляющих входного и эталонного сигналов и имеет вид

Ф_xd(z) = Ф_nn(z) H(z^-1), (19.9)

Подставляя (19.9) в (19.7), получаем винеровскую передаточную функцию

. (19.10)

Отметим, что W*(z) не зависит от спектра сигнала Ф_ss(z) и спектра некоррелированного шума Ф_т0т0(z) на входе системы.

При нулевой аддитивной помехе т₁ на эталонном входе имеем интересный частный случай, когда Ф_т1т1(z) = 0, а оптимальная передаточная функция (19.10) принимает вид

W(z)* = l/H(z). (19.11)

Интуитивно ясно, что этот результат является правильным, так как адаптивный фильтр приводит, как и при балансе мостовой схемы, к обнулению п_k на выходе устройства подавления. Некоррелированная помеха m_0k не подавляется и наряду с сигналом появляется на выходе системы.

Функционирование устройства подавления помех с одним входом можно рассмотреть в более общем виде с точки зрения соотношения двух отношений – плотности мощности сигнала к плотности мощности помех на выходе системы ρ_вых(z) и на ее входе ρ_вх(z). Полагая, что спектр сигнала является неотрицательным на всех частотах, после соответствующих преобразований имеем

.(19.12)

Из рис. 19.2 следует, что энергетический спектр помехи на выходе устройства подавления равен сумме трех составляющих, одна из которых соответствует прямому прохождению на выход m_0k, другая – т_1k, прохождению через звено с передаточной функцией W*(z), а третья – п_k, прохождению через звено с передаточной функцией 1-H(z) W*(z). Отсюда энергетический спектр помехи на выходе

.(19.13)

Для удобства обозначим отношения спектров коррелированных и некоррелированных помех на входе и эталонном входе соответственно через

(19.14)

и

(19.15)

В этих обозначениях передаточную функцию можно переписать в виде

W*(z) = 1/H(z)[B(z) + 1](19.16)

Тогда энергетический спектр помехи на выходе

. (19.17)

При этом отношение (19.12)

.(19.18)

Это выражение является общим представлением идеальной характеристики подавления помех в рассматриваемом случае. Оно позволяет оценить ожидаемый уровень подавления помехи при идеальной системе подавления, содержащей винеровский фильтр с двусторонней импульсной характеристикой. В такой системе сигнал проходит на выход неискаженным. В противоположность этому классические схемы Винера, Калмана и адаптивных фильтров в процессе подавления помех вносят некоторые искажения и в сигнал.

Из (19.18) видно, что возможности подавления помех ограничиваются отношениями A(z) и B(z). Если они относительно малы, то отношение ρ_вых(z)/ρ_вх(z) велико и относительно более эффективно функционирует устройство подавления. Необходимость иметь низкий уровень некоррелированных помех на обоих входах становится ещё более очевидной при рассмотрении следующих конкретных случаев:

1) При малом A(z)

2) При малом B(z)

3) При малых A(z) и B(z)

Из этих соотношений следует, что полное подавление возможно, когда A(z) и B(z) равны нулю. В этом случае на выходе системы можно полностью исключить помеху, что приводит к идеальному восстановлению сигнала. Однако при малых A(z) и B(z)вступают в силу другие факторы, ограничивающие характеристики системы. К этим факторам относятся конечная длина адаптивного фильтра в реальных системах и относительное среднее значение СКО, вызванное шумом оценки градиента, возникающим в процессе адаптации [14]. Влияние третьего фактора, связанного с попаданием на эталонный вход составляющих сигнала, рассматривается далее.