Кодирование сигнала

Позиционность.Сначала рассмотрим одно замечательное свойство системы счисления – позиционность. Возьмем какое-нибудь число, например 777. В нем один и тот же знак «7» участвует 3 раза, но обозначает то семь единиц, то – в центре – семь десятков, а слева – семь сотен. Таким образом, при записи числа цифра может иметь одно начертание, а значения в зависимости от места (позиции), разряда, на котором она стоит, – разные. Такой принцип построения чисел называется позиционным. Для записи любых сколь угодно больших чисел достаточно десяти цифр.

Каждая позиция, или разряд, числа имеет определенный «вес» (единицы, десятки, сотни и т. д.), поэтому число 777 можно расписать как

777 = 7×10² + 7×10 + 7,

т.е. семь сотен плюс семь десятков плюс семь единиц.

Если вместо чисел записать буквы, то можно получить общую форму представления числа:

М = a_n×10ⁿ + a_n-1×10^n-1 + ... + a₁×10 + a₀

или сокращенную (опуская степени числа 10) – через коэффициенты:

М = (a_na_n-1 ... a₁a₀)

Число 10 является основанием системы счисления. Коэффициенты a₀ (число единиц), a₁ (число единиц второго разряда, т.е. десятков), a₂ (число единиц третьего разряда, т.е. сотен) и т.д. могут принимать значения, не превышающие основания системы: от 0 до 9.

Основанием системы счисления может быть любое целое число, т.е. число можно представить комбинацией степеней основания, например, 7:

М = a_n×7ⁿ + a_n-1×7^n-1 + ... + a₁×7 + a₀

Ясно, что значения коэффициентов a₀, a₁,...,a_n должны теперь быть не больше нового основания, т.е. 7: они могут принимать значения от 0 до 6.

Представим число 777 в семеричной системе, разлагая его по степеням основания 7:

(777)₁₀ = 2×7³ + 1×7² + 6×7.

Если опустить степени числа 7, как мы делаем при записи чисел в десятичной системе, то получим семеричную запись этого числа: (2160)₇. Здесь цифра 7 в индексе указывает основание системы.

В пятеричной позиционной системе всего пять цифр: 0, 1, 2, 3, 4. В ней число 777 будет представлено количеством «пятерок», «двадцатипяток» и т. д.:

(777)₁₀ = 1×5⁴ + 1×5³ + 1×5² + 0×5 + 2 = (11102)₅.

Посмотрим, как будет представлено число 777 в двенадцатеричной системе. Поскольку в ней должно быть двенадцать цифр, а мы знаем только десять, то придется ввести еще две цифры, обозначив 10, скажем, буквой A, а 11 – буквой B. В результате получим

(777)₁₀ = 5×12² + 4×12 + 9 = (549)₁₂.

Как видно, можно придумать много различных позиционных систем счисления, отличающихся только основаниями. И все они, вообще говоря, равнозначны: ни одна из них не имеет явных преимуществ перед другой.

Число 2 – это самое меньшее из чисел, которое можно взять за основание системы счисления. Поэтому в двоичной системе счисления всего две цифры: 0 и 1. Число в двоичной системе запишется так:

М = a_n×2ⁿ + a_n-1×2^n-1 + ... + a₁×2 + a₀.

Если в десятичной системе "вес" каждой позиции (или разряда) числа равен числу 10 в некоторой степени, то в двоичной системе вместо числа 10 используют число 2.

Запишем число (777)₁₀ в двоичной системе счисления, представляя его в виде разложения по степеням двойки и отбрасывая потом при записи сами степени:

(777)₁₀=1×2⁹ + 1×2⁸ + 0×2⁷ + 0×2⁶ + 0×2⁵ + 0×2⁴ + 1×2³ + 0×2² + 0×2 + 1 = = (1100001001)₂.

Итак, в двоичной системе счисления вместо числа 777 приходится писать число 1100001001.

При записи числа в двоичной системе каждая позиция занята двоичной цифрой. Вместо двух слов "двоичная цифра" употребляют одно слово: "бит", составленного из начальных и конечной букв словосочетания "binary digit", что в переводе с английского означает "двоичная цифра".

С помощью одного бита можно записать только числа 0 и 1, двух бит – числа от 0 до 3, трех бит – числа от 0 до 7, четырех бит – числа от 0 до 15 и т.д.

Десятичная запись

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 … 15 16

Двоичная запись

0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 … 1111 100000

Чтобы записать числа от 0 до 1000 в двоичной системе счисления потребуется десять бит, т.е. даже сравнительно небольшое число занимает много позиций.