Связь корреляционной функции с энергетическим спектром

Как отмечалось в 3 разделе, преобразования Фурье обладают частотно-временной дуальностью. Это означает, в частности, что преобразование сигнала, заключающееся в нахождении его автокорреляционной функции, должно иметь дуальное соответствие в частотной области. Для установления этой связи воспользуемся выражением теоремы Парсеваля,

, (7.8)

в котором положим u(t) = s(t + τ) и соответственно .

Тогда получим

, (7.9)

Учитывая, что , приходим к соотношению

, (7.10)

. (7.11)

Итак, прямое преобразование Фурье (7.11) корреляционной функции B_S(τ) позволяет получить энергетический спектр сигнала W_S(ω) (спектральную плотность мощности), а обратное преобразование (7.10) определяет корреляционную функцию. Выражения (7.10) и (7.11) составляют суть теоремы, известной как теорема Винера-Хинчина.

Из выражений (7.10) и (7.11) можно сделать следующие выводы.

1. Чем шире спектр сигнала s(t), тем меньше интервал корреляции τ_k .

2. Чем больше интервал корреляции τ_k заданного сигнала, тем меньше ширина его спектра.

3. Корреляционная функция B_S(τ) не зависит от ФЧХ спектра сигнала. Но так как форма сигнала s(t) при заданном амплитудном спектре существенно зависит от ФЧХ, то можно заключить, что различным по форме сигналам, имеющим одинаковые амплитудные спектры, соответствуют одинаковые корреляционные функции B_S(τ).

Необходимо отметить, что полученная связь между автокорреляционной функцией и энергетическим спектром позволяет установить критерий существования сигнала с заданными характеристиками. Известно, что энергетический спектр любого сигнала, по определению, всегда положителен. Это означает, что корреляционная функция не может иметь, например вид прямоугольника, так как в этом случае энергетический спектр должен описываться знакопеременной функцией, что противоречит физическим представлениям.