Огибающая и фаза узкополосного случайного процесса

Случайный процесс y(t) = U_m(t)∙cos(w₀t + j(t)) называется узкополосным, если его ширина спектра значительно меньше, чем средняя частота w₀ (рис. 5.9).

Для нормального случайного процесса фаза j(t) распределена равномерно (см. выше).

Рис. 5.9. Огибающая и фаза узкополосного случайного процесса:

U_m(t) – огибающая случайного процесса (случайная амплитуда);

j(t) – фаза случайного процесса

Огибающая нормального случайного процесса Um(t) распределена по закону Релея:

.

Рис. 5.10. Огибающая распределения нормального случайного процесса и суммы нормального шума и гармонического колебания

Если узкополосный случайный процесс есть сумма нормального шума и гармонического колебания с амплитудой А, то его огибающая распределена по обобщенному закону Релея (закон Райса):

– закон Райса.

I₀(.) – функция Бесселя от мнимого аргумента.

Флуктуационный шум

Примером случайного процесса является флуктуационный шум, наиболее характерный для большинства каналов электросвязи. Для количественных расчетов воздействия флуктуационного шума на сигнал необходимо знать основные вероятностные характеристики. Поскольку шум образуется как сумма большого числа отдельных независимых колебаний, он, согласно центральной предельной теореме представляет собой стационарный эргодический случайный процесс с гауссовским (нормальным) распределением вероятности.

ПРВ гауссовского процесса описывается формулой [6, 32]:

,

в которую входят два числовых параметра m и σ² , имеющие смысл математического ожидания и дисперсии: m = M(x), σ² = D(X).

График плотности вероятности W(x) представляет собой колоколообразную кривую с единственным максимумом в точке x = m (рис. 5.11). Из графика видно, что с уменьшением σ кривая все более локализуется в окрестности точки x = m. Для флуктуационного шума обычно M(x) = 0.

Рис. 5.11. Гауссовское распределение вероятностей

Функция распределения вероятности для гауссовского случайного процесса:

.

После замены переменных y = (x - m)/σ эта функция приводится к виду:

,

где – интеграл вероятности.

Функция Ф₀(z) табулирована в математических справочниках. Заметим, что Ф₀(-z) = -Ф₀(z) , Ф₀(0) = 0, Ф₀(∞) = 0,5. Для приближенных вычислений можно воспользоваться приближенным выражением:

Ф₀(z) ≈ 0,5 - 0,65 exp[-0,44(z + 0,75)²]

Пример.Вычислим вероятность того, что мгновенное значение флуктуационного шума с нулевым средним и дисперсией σ² = 9 [B²] превысит уровень x₀ = 6 [B].

Исходя из определения функции распределения вероятности, вероятность превышения случайным процессом уровня x₀

p(X > x₀) = 1 - p(X ≤ x₀) = 1 - F(x₀)

Подставляя значение F(x₀) для гауссовского случайного процесса, получаем:

p(X > x₀) = 1 - 0,5 - Ф₀[(x₀ - m)/σ] = 0,5 - Ф₀[(x₀ - m)/σ]

Для заданных числовых значений и m = 0, воспользовавшись таблицами или приближенной формулой для Ф₀(z), получаем:

p(X >6) ≈ 2,33∙10^-2.

Обычно спектральная плотность мощности G_x(f) флуктуационного шума постоянна в широком диапазоне частот, т. е. можно приближенно считать, что: G_x(f) = N₀ при 0 ≤ f ≤ ∞. В этом случае шум называют белым. Это название дано по аналогии с белым светом, имеющим все частотные компоненты.