Функция плотности вероятностей случайного процесса (ФПВ)

В простейшем случае одномерная ФПВ равна:

.

Одномерная ФПВ равна пределу отношения вероятности попадания случайного процесса в интервал от x₁ до х₁+Dх, при t = t₁, к Dх при Dх стремящемся к нулю.

Наиболее полной характеристикой является n-мерная ФПВ.

ФРВ и ФПВ связаны друг с другом. ФПВ – это первая производная ФРВ по х_1, Соответственно, ФРВ равна интегралу от -¥ до х₁ от ФПВ:_.

.

Условие нормировки:

Числовые характеристики случайного процесса.

1. Среднее значение (математическое ожидание или первый начальный момент)

.

Физический смысл m₁ – это постоянная составляющая случайного процесса.

2. Второй начальный момент.

.

Физический смысл m₂ – это полная средняя мощность случайного процесса на единичном сопротивлении.

3. Дисперсия (второй центральный момент)

.

Физический смысл s² – это средняя мощность переменной составляющей случайного процесса на единичном сопротивлении.

Числовые характеристики связаны между собой:

s² = m₂ - m₁²

Стационарность.

1. Нестационарный случайный процесс – ФПВ и ФРВ зависят от начала отсчета времени.

2. Стационарный в узком смысле – ФПВ и ФРВ не зависят от начала отсчета времени.

3. Стационарный в широком смысле одно- и двумерные ФПВ и ФРВ не зависят от начала отсчета времени.

Для стационарного случайного процесса m₁, m₂, s² – не зависят от времени.

Рассмотрим тепловой шум на выходе включенного усилителя. После включения усилитель прогревается и шум на его выходе – нестационарный. После "прогрева" шум будет стационарным процессом.

Рис. 5.1. Временная диаграмма теплового шума

Эргодичность.

Случайный процесс называется эргодическим, если для него усреднение по времени одной реализации и усреднение по множеству реализаций дает один и тот же результат. Это свойство имеет большое значение на практике, т.к. усреднение по времени одной реализации технически реализовать проще, но оно не всегда дает истинный результат. Поэтому доказательство эргодичности процесса позволяет существенно упростить нахождение его характеристик.