Релятивистское выражение для энергии

В релятивистской механике справедливым остается выражение

.

Это означает, что . Откуда видно, что сила не является инвариантной величиной. Кроме того, сила F и ускорение a не коллениарны.

Легко получить выражение для кинетической энергии.

Пусть тело (частица) ускоряется при прямолинейном движении вдоль постоянной силой F, работа которой будет трансформироваться в прирост кинетической энергии

,

причем мы не можем, как раньше, выносить m за знак дифференцирования как константу, потому что при v~c m¹const. Поскольку , поменяем порядок дифференцирования по координате

Рассмотрим теперь подробнее релятивистское выражение для массы

Упростим последнее выражение:

m²c² – m²v² = m_o²c²Þ m²c² = m_o²c² + m²v²

и продифференцируем с учетом условия m_o = const и c=const:

2c²m×dm = 2mv²dm + 2m²v×dv½: 2m.

Получаем

с²dm = v²dm + mv×dv.

Сравним правые части уравнений и приравняем левые части этих уравнений

dT = c²dm.

Проинтегрируем последнее равенство при учете, что при v=0 T=0, a m=m_o

Итак,

Понятно, что Е_о =m_oc² – энергия покоя тела, а mc² – полная энергия тела, а их разность Т и есть кинетическая энергия, энергия, обусловленная движением тела.

Следствия:

1) Выражение Е_о =m_oc², впервые полученное Эйнштейном, характеризует полный запас энергии, содержащийся в любом теле.

2) Из релятивистского соотношения кинетической энергии привычное может быть легко получено в предельном случае vÞ0. Действительно, при v<<c

При релятивистском движении иначе выглядит и уравнение связи импульса частицы с её кинетической энергией

Энергия и импульс в релятивистской механике не сохраняются. Инвариантом является выражение: