Взаимозаменяемость логических союзов

Между различными логическими союзами существует определенная взаимосвязь, позволяющая, в частности, заменять одни союзы другими без ущерба для смысла суждений. Ранее, например, уже отмечалось, что эквиваленцию можно представить как конъюнкцию двух импликаций:

(р ↔ q) ≡ ((р → q) Λ (q → р))

Таким же образом можно любой логический союз выразить при помощи других союзов (в иных случаях для этого приходится использовать также отрицание). Равносильность, позволяющая заменять одну формулу другой, определяется сопоставлением таблиц истинности этих формул. Формулы с одинаковыми переменными и разными логическими союзами считаются равносильными, если их логические значения при одинаковых значениях наборов переменных полностью совпадают. Так, например, импликацию можно выразить через дизъюнкцию и отрицание:

( p → q ) ≡ (¯ p v q )

Для того, чтобы убедиться в равносильности этих формул, сравним их таблицы истинности (табл. 3.10):

Таблица 3.10. Сравнение таблиц истинности

Из табл. 3.10 видно, что в каждой строчке значение истинности формулы ¯ pvq (черта над р) такое же, как и значение истинности формулы р→q. Именно это и позволяет считать данные формулы равносильными. Убедиться в справедливости данного вывода поможет сравнение следующих двух суждений, соответствующих этим формулам: "Если взялся за дело, то доводи его до конца" (р → q); "Или не берись за дело, или (если взялся) доводи его до конца" (¯р v q).

Импликацию можно также равносильно выразить через конъюнктивное суждение:

_____

(р → q ) ≡ ( p Λ¯ q )

Подтверждением этой равносильности будет следующий пример. Сравните: "Если тело нагреть, то оно расширяется" и «Неверно, что тело нагрели, и оно не расширилось".

_______

Конъюнктивное суждение р Λ q равносильно суждению ( ¯р v ¯q)

_______

р Λ q ≡ ( ¯р v ¯q)

Например: "Фирмы X и У своевременно заплатили налоги". Это высказывание равносильно следующему высказыванию "Неверно, что хотя бы одна из этих фирм не заплатила своевременно налоги". ("Неверно, что фирма X не заплатила своевременно налоги, или фирма У не заплатила своевременно налоги").

Через импликацию конъюнктивное суждение передается следующим образом:

______

( р Λ q ) ≡ ( p →¯ q).

Например: "Иванов изучает английский и французский языки", "Неверно, что если Иванов изучает английский, то он не изучает французского".

Дизъюнктивное суждение равносильно отрицанию конъюнктивного:

______

(P v q) ≡ (¯р Λ ¯q)

Пример: "Рентабельность увеличивается путем повышения производительности труда или путем снижения себестоимости продукции" и "Неверно, что рентабельность не увеличивается путем повышения производительности труда и не увеличивается путем снижения себестоимости продукции" .

Отрицание конъюнкции можно равносильно выразить через дизъюнкцию:

____

(р Λ q ) ≡ (¯р v q ¯)

Выражение отрицания дизъюнктивного суждения через конъюнктивное осуществляется в соответствии со следующей формулой:

_____

(р v q ) ≡ (¯р Λ¯ q )

Отрицание импликации равносильно можно выразить в виде дизъюнктивного суждения:

_______ _

(р → q ) ≡ р V q

и в виде конъюнктивного суждения:

_____

(р→ q ) ≡ (p Λ ¯q)

Отрицание эквиваленции можно равносильно выразить следующим образом:

_____

(p ↔ q) ≡ ((p Λ ¯q) v (¯p Λ q))

Знание равносильностей позволяет взаимозаменять высказывания различных форм (причем смысловое их сходство с первого взгляда может быть не всегда очевидным). Благодаря этому можно выбрать вариант, который в определенном контексте оказывается наиболее предпочтительным. Использование равносильностей позволяет также упростить сложные выражения, устранить тем самым избыточную информацию. Это, в свою очередь, способствует более глубокому осмыслению высказываний.