Равенство Парсеваля

Рассмотрим для примера периодический ток I(t), протекающий по сопротивлению R. Величина средней по периоду мощности на сопротивлении будет:

Разложим I(t) в ряд Фурье:

Тогда

После возведения в квадрат получится сумма интегралов вида:

Первые три типа интегралов от знакопеременных функций будут равны нулю.

Интегралы четвёртого и пятого вида при k ≠ m будут интегралами от знакопеременных функций и будут равны нулю. При k = m они будут равны:

Если обозначить постоянную составляющую тока , а амплитуду n-ной гармоники

то выражение для мощности можно будет переписать в виде:

Видно, что мощность периодического переменного тока равна

сумме мощностей его гармонических составляющих – членов ряда Фурье.

В учебниках математики равенство:

называют равенством Парсеваля.