Преобразование Фурье

Строго говоря, периодических процессов не бывает. Каждый процесс когда-то начался и наверняка закончится. На графике рис. 3.12 видно, что если импульсы повторяются редко, то до первого нуля огибающей помещается много гармоник. Если период увеличивать, то гармоники нашего линейчатого спектра сольются в сплошной. А огибающая останется прежней. Если представить, что сигнал один и ни слева, ни справа от него ничего не видно, то мы можем приближённо считать этот сигнал одиночным, непериодическим. Для анализа непериодических сигналов применяется преобразование Фурье.

Из курса математики известно, что любую достаточно хорошую функцию F(t) можно разложить в интеграл Фурье:

(3.20)

(3.21)

Обычно саму функцию времени F(t) и её Фурье-образ F(ω) обозначают одной буквой. Это не должно привести к недоразумениям, так как аргумент ( t или ω) указывает на то, что имеется в виду.

Заметим, что иногда коэффициент 1/2π в формулах преобразования Фурье распределяют иначе, например, так:

Встречаются и другие варианты. Мы будем пользоваться определением (3.20, 3.21).

В качестве продолжения примера из предыдущего раздела вычислим преобразование Фурье (или спектр Фурье) одиночного прямоугольного импульса амплитуды U₀ и длительности τ.

(3.22)

Осталась одна огибающая, а гармоники слились в сплошной спектр.

Приведём основные свойства интегралов Фурье:

F₁ (t) + F₂ (t) + F₃ (t) ↔ F₁ (ω) + F₂ (ω) + F₃ (ω) , (3.23)

α F (t) ↔ α F (ω) , α = const. (3.24)

(3.25)

(3.26)

(3.27)

(3.28)

!!!!! (3.29)

(3.30)

Приведём доказательства некоторых свойств интегралов Фурье, приведённых выше.

Рассмотрим теорему о Фурье-образе производной (3.25):

то есть Фурье-образ производной есть Y(ω) = iωF(ω) .

Рассмотрим теорему о масштабе времени (3.27):

Рассмотрим теорему о сдвиге времени (3.28):

Рассмотрим теорему об энергии сигнала (3.29):

Полная энергия W пропорциональна F²(t).

поменяем порядок интегрирования:

Функция под последним интегралом – комплексно сопряжённая с функцией под интегралом (3.20). Поэтому Фурье-образ F(ω) нужно заменить на F^*(ω).

(3.31)

Такая же формула получается и для ряда Фурье. Она называется – формула (или теорема) Парсеваля. Смысл формулы прост: энергия сигнала, вычисленная по зависимости от времени, равна сумме энергий спектральных составляющих. Если система линейная, то мне кажется, что это очевидно. Ведь гармоники действительно существуют и существовали до рождения Фурье.

Если импульс одиночный и прямоугольный, то в гармониках до первого нуля огибающей содержится 90% энергии импульса. А до второго нуля огибающей – 95% энергии. Это важно знать при использовании фильтров или усилителей. У них всегда ограничена полоса пропускания.