Статически неопределимые задачи

Задачи на расчет конструкций, в элементах которых внутренние си­ловые факторы не могут быть определены с помощью одних уравнений равновесия статики, называются статически неопределимыми.

Для решения таких задач помимо уравнений равновесия состав­ляют уравнения перемещений или деформаций.

Изменение температуры деталей вызывает изменение их размеров, в результате чего в статически неопределимых системах возникают допол­нительные напряжения, называемые температурными.

Рассмотрим невесомый стержень постоянного сечения площадью А,длиной l, жестко защемленный по концам (рис. 19.10). При нагревании в стержне возникнут температурные напряжения сжатия. Определим эти напряжения.

Составим для стержня уравнение равновесия:

откуда получим, что реакции R_с и R_B равны, а, применив метод сечении, установим, что продольная сила N в сечениях стержня равна неизвестным реакциям:

Составим дополнительное уравнение, для чего мысленно отбросим правую заделку и заменим ее реакцией R_B, тогда дополнительное уравне­ние деформаций будет иметь вид

(т. е. температурное удлинение стержня равно его укорочению под дейст­вием реакции R_B, так как связи полагаются абсолютно жесткими).

Температурное удлинение l_t = tl, где — коэффициент линейно­го расширения материала стержня; укорочение под действием реакции R_B: l_СВ = R_Bl /(EA).Приравняем правые части этих равенств:

Определим температурные напряжения:

Для того чтобы избе­жать температурных на­пряжений, которые могут достигать значительных ве­личин, один конец мостов ставят на катки; в длинных

трубопроводах, подвергаю­щихся изменению темпера­туры, делают компенсирую­щие устройства и т. д.

Пример 19.5. Абсолютно жесткая балка, изображенная на рис. 19.11, шарнирно укре­плена в стене и подвешена горизонтально на двух шар­нирно закрепленных, верти­кально расположенных сталь­ных стержнях равной длины l= 2 м. В точке D на балку действует сила F = 20 кН. Площади поперечных сечений стержней равны: А₂= 3 см², А₂= б см². Модуль упругости материала стержней

Е = 2 10⁵ МПа, сила тяже­сти балки G = 40 кН. Определить напряжения в стержнях 1 и 2.

Решение. Рассматривая равновесие балки, отбросив связи и заменив их ре­акциями, получаем три неизвестных: реакцию R_A шарнира А и реакции R_Си R_B стержней 1 и 2.

Для данной системы параллельных сил можно составить лишь два уравне­ния равновесия: уравнение проекций сил на вертикальную ось и уравнение мо­ментов относительно какой-либо точки; следовательно, система статически неоп­ределима.

Для решения задачи необходимо составить дополнительное уравнение пе­ремещений элементов конструкции, для чего изобразим ее в деформированном виде. Из подобия треугольников АСС' и АВВ' получаем

отсюда

Составим уравнение моментов относительно точки А:

Упрощая последнее уравнение, получаем

По закону Гука

Разделим второе равенство на первое:

Так как.

откуда R_В=5Rс

Находим R_В и R_С:

Отсюда

Определяем напряжения ₁ и ₂ в стержнях: