Зависимость критической силы от условий закрепления стержня.

Формула Эйлера была получена нами для, так называемого, основного случая – в предположении шарнирного опирания стержня по концам. На практике встречаются и другие случаи закрепления стержня. При этом можно получить формулу для определения критической силы для каждого из этих случаев, решая, как в предыдущем параграфе, дифференциальное уравнение изогнутой оси балки с соответствующими граничными условиями. Но можно использовать и более простой прием, если вспомнить, что, при потере устойчивости на длине стержня должна укладываться одна полуволна синусоиды.

Рассмотрим некоторые характерные случаи закрепления стержня по концам и получим общую формулу для различных видов закрепления.

Различные случаи закрепления стержня

а)

б)

в)

Общая формула Эйлера:

,

где ·l = l_пр – приведенная длина стержня; l – фактическая длина стержня; – коэффициент приведенной длины, показывающий во сколько раз необходимо изменить длину стержня, чтобы критическая сила для этого стержня стала равна критической силе для шарнирно опертой балки. (Другая интерпретация коэффициента приведенной длины: показывает, на какой части длины стержня для данного вида закрепления укладывается одна полуволна синусоиды при потере устойчивости.)

Таким образом, окончательно условие устойчивости примет вид

Рассмотрим два вида расчета на устойчивость сжатых стержней – проверочный и проектировочный.

Проверочный расчет.

Порядок проверочного расчета на устойчивость выглядит так:

исходя из известных размеров и формы поперечного сечения и условий закрепления стержня, вычисляем гибкость;

по справочной таблице находим коэффициент понижения допускаемого напряжения, затем определяем допускаемое напряжение на устойчивость;

сравниваем максимальное напряжение с допускаемым напряжением на устойчивость.

Проектировочный расчет

При проектировочном расчете (подобрать сечение под заданную нагрузку) в расчетной формуле имеются две неизвестные величины – искомая площадь поперечного сечения A и неизвестный коэффициент (так как зависит от гибкости стержня, а значит и от неизвестной площади A). Поэтому при подборе сечения обычно приходится пользоваться методом последовательных приближений:

обычно в первой попытке принимают ₁=0,5…0,6 и определяют площадь сечения в первом приближении

;

по найденной площади A₁ подбирают сечение и вычисляют гибкость стержня в первом приближении ₁. Зная , находят новое значение ₁¢;

далее, используя найденный ₁¢, проверяют условие устойчивости, и если _max и [ _у] значительно отличаются друг от друга (более чем на 5 %), следует повторить расчет, приняв во второй попытке

.