Дифференциальные зависимости при изгибе.

Выделим на участке балки с произвольной нагрузкой в месте, где нет сосредоточенных сил и моментов, малый элемент dz. Так как вся балка находится в равновесии, то и элемент dz будет находиться в равновесии под действием приложенных к нему поперечных сил, изгибающих моментов и внешней нагрузки. Поскольку Q_y и M_x в общем случае меняются вдоль оси балки, то в сечениях элемента dz будут возникать поперечные силы Q_y и Q_y+ dQ_y, а также изгибающие моменты M_x и M_x+dM_x.

Из условия равновесия выделенного элемента получим:

, следовательно

;

, следовательно

Первое из двух записанных уравнений дает условие

Из второго уравнения, пренебрегая слагаемым как бесконечно малой величиной второго порядка, найдем

Рассматривая полученные выражения, совместно можем получить

Полученные соотношения называют дифференциальными зависимостями Д.И. Журавского при изгибе.

Анализ дифференциальных зависимостей при изгибе по­зволяет установить некоторые правила построения эпюр изги­бающих моментов и поперечных сил, например:

- на участках, где нет распределенной нагрузки q, эпюры Q ограничены прямыми, параллельными базе, а эпюры М - наклонными прямыми;

- на участках, где к балке приложена распределенная нагрузка q, эпюры Q ограничены наклонными прямыми, а эпюры М - квадратичными параболами;

- в сечениях, где к балке прикладывается сосредоточенная сила, на эпюре Q будут скачки на величину и в направлении данной силы, а на эпюре М - пе­регибы, острием направленные в направлении действия этой силы;