Уравнение состояния идеального газа. Универсальная газовая постоянная. Основные газовые законы.

Уравнения, полученные на основе МКТ, позволяют найти соотношения, которые связывают между собой макроскопические величины, определяющие состояние газа.

Физические величины, служащие для характеристики состояния газа называются параметрами состояния.

Важнейшими параметрами состояния идеального газа являются температура T, давление p, объем V.

Параметры состояния газа p, V и T не являются независимыми. Каждый из них является функцией двух других:

p = f (V, T); V = f (p, T); T = f (p, V).

Если уравнение состояния задано в явном виде, то любой параметр можно определить, зная два других.

Соотношение

,

связывающее давление газа с его температурой и концентрацией молекул, получено для модели идеального газа, молекулы которого взаимодействуют между собой и со стенками сосуда только во время упругих столкновений. Это соотношение может быть записано в другой форме, устанавливающей связь между макроскопическими параметрами газа – объемом V, давлением P, температурой T и количеством вещества ν.

Для этого запишем его в виде

(1)

где N – число молекул в объеме V, k – Постоянная Больцмана. Перепишем (1) в виде

. (2)

Для данной массы газа N = const, поэтому правая часть уравнения (2) будет тоже постоянная величина для данной массы газа. Тогда из (2) следует, что для данной любой массы газа будет выполняться соотношение

(3)

Полученное уравнение называется уравнением Клапейрона.

Для данной массы газа произведение давления на объем, деленное на абсолютную температуру, остается постоянным независимо от состояния, в котором находится газ.

Уравнение (2), в которое входят все три параметра состояния, это уравнение состояния идеального газа. Однако в это уравнение входит число молекул N, которое невозможно измерить непосредственно. Чтобы этим уравнением можно было легко пользоваться, необходимо число молекул N заменить массой газа m, которая определяется достаточно просто.

Известно, что количество вещества определяется соотношением

(3)

где N – число молекул в массе газа m, μ –молярная масса, N_А - число Авогадро.

Из (3) получим

(4)

С учетом (4) перепишем (2) в виде

(5)

В уравнение (5) входят две универсальные константы: число Авогадро и постоянная Больцмана. Очевидно, что произведение универсальных констант так же должно быть универсальной константой. Эта константа получила название универсальной (молярной) газовой постоянной.

(6)

С учетом (6) перепишем (5) в виде:

(7)

Уравнение (3), устанавливающее связь между давлением, объемом и температурой газа было получено в середине XIX века французским физиком Б. Клапейроном. В виде уравнения (7) оно было впервые записано Д. И. Менделеевым. Поэтому уравнение состояния газа называется уравнением Клапейрона–Менделеева.

Определим физический смысл универсальной газовой постоянной. Пусть 1 моль любого газа находится в цилиндре с подвижным поршнем. Давление газа в цилиндре p, температура T, площадь поршня S. Нагреем газ на 1K при постоянном давлении, т.е. p = const., T₁ = T, T₂ = T+1. При этом поршень переместится на расстояние dl (рис.1).

Рис.1.

Сила, действующая со стороны газа на поршень

,

т.к. p = const. Следовательно, работа расширения газа из состояния 1 в состояние 2

С учетом F

Учтем, что Sdl = dV – изменение объема газа при нагревании. Тогда:

Запишем уравнения Клапейрона-Менделеева для двух состояний газа с учетом того, что ν = 1моль и вычтем из второго первое

Следовательно, работа расширения газа

Универсальная газовая постоянная численно равна работе расширения, которую выполняет 1 моль газа при его нагревании на 1K при постоянном давлении.

Газ может участвовать в различных тепловых процессах, при которых могут изменяться все параметры, описывающие его состояние (p, V и T).

Интерес представляют процессы, в которых один из параметров (p, V или T) остается неизменным. Такие процессы называются изопроцессами.

Изотермический процесс (T = const.).

Изотермическим процессом называют квазистатический процесс, протекающий при постоянной температуре T. Из уравнения (7) состояния идеального газа следует, что при постоянной температуре T и неизменном количестве вещества ν в сосуде произведение давления p газа на его объем V должно оставаться постоянным:

(8)

На диаграмме (p, V) изотермические процессы изображаются при различных значениях температуры T семейством гипербол p ~ 1 / V, которые называются изотермами. Изотермы, соответствующие более высоким значениям температуры, располагаются на графике выше изотерм, соответствующих меньшим значениям температуры (рис. 2). Уравнение изотермического процесса было получено из эксперимента английским физиком Р. Бойлем (1662 г.) и независимо французским физиком Э. Мариоттом (1676 г.). Это уравнение называют законом Бойля–Мариотта. (8) – уравнение изотермы.

Рис.2. Семейство изотерм: T₃ > T₂ > T₁.

Сжимаемость газа при изотермическом процессе характеризуется изотермическим коэффициентом сжимаемости α, который определяется как относительное изменение объема, изменяющее давление на единицу.

где dV изменение объема газа, которое изменяет давление на dp. Продифференцируем уравнение Клапейрона–Менделеева с учетом того, что T = const.

Лекция 5