Метод золотого сечения.
Пусть f(x) задана и кусочно-непрерывна на [xL, xR], и имеет на этом отрезке только один локальный минимум. Золотое сечение, о котором упоминал ещё Евклид, состоит в разбиении интервала [xL, xR] точкой x1 на две части таким образом, что отношение длины всего отрезка к его большей части равно отношению большей части к меньшей:
. (2)
Таким образом, возьмем на отрезке две точки x1и x2, симметрично относительно границ делящие исходный отрезок в отношении золотого сечения:
,
,
где коэффициент .
Если f(x1) < f(x2), мы должны сузить отрезок справа, т.е. новое значение xR = x2, в противном случае xL = x1. Оставшаяся внутри нового отрезка точка является первым приближением к минимуму и делит этот отрезок в отношении золотого сечения. Таким образом, на каждой итерации приближения к минимуму (см. рисунок) нам нужно ставить только одну точку (x1 или x2), в которой считать значение функции и сравнивать его с предыдущим. Условием выхода из итерационного процесса будет, подобно предыдущему случаю, условие |x2 – x1| ≤ ξ.
Метод отличается высокой скоростью сходимости, обычно изысканной компактностью программной реализации и всегда находит точку, минимальную на заданном интервале.
Метод парабол.
Пусть f(x) имеет первую и вторую производную. Разложим f(x) в ряд Тейлора в некоторой точке xk, ограничиваясь при этом тремя членами разложения:
. (3)
Иными словами, аппроксимируем нашу функцию в точке xk параболой. Для этой параболы можно аналитически вычислить положение экстремума как корень уравнения первой производной от (3): . Пусть минимум аппроксимирующей параболы находится в точке xk+1. Тогда вычислив значение функции f(xk+1), мы получаем новую точку приближения к минимуму.
Обычно в практических реализациях данного метода не используют аналитический вид первой и второй производных f(x). Их заменяют конечно-разностными аппроксимациями. Наиболее часто берут симметричные разности с постоянным шагом h:
;
.
Это эквивалентно аппроксимации функции параболой, проходящей через три близкие точки xk+h, xk, xk–h. Окончательное выражение, по которому можно строить итерационный процесс, таково:
. (4)
Данный метод отличается от вышеизложенных высокой скоростью сходимости. Вблизи экстремума, вплоть до расстояний ~h2, сходимость практически не отличается от квадратичной. Однако алгоритм требует постоянного контроля сходимости. Например, итерационный процесс будет сходиться к минимуму, если
1) знаменатель формулы (4) должен быть >0. Если это не так, нужно сделать шаг в обратном направлении, причем достаточно большой. Обычно в итерационном процессе полагают . Иногда ради упрощения расчетов полагают , однако это существенно уменьшает скорость сходимости.
2) . Если это не так, то от xk следует сделать шаг с τ = ½. Если и при этом условие убывания не выполнено, уменьшают τ и вновь делают шаг.
Дата добавления: 2021-09-07; просмотров: 423;