Определение высоты балки из условий прочности и экономичности

Обозначим оптимальную высоту балки буквой , при которой прочность гарантирована ( ), а площадь поперечного сечения А_б – минимальна, т. е. материал использован наиболее экономично. Установим функциональную зависимость А_{б =} Ф(h). Обозначения размеров сечения примем по рис. 6.2. Так как высота вертикальной стенки мало отличается (на 1–2%) от высоты балки, для упрощения вывода примем Воспользуемся также эмпирической зависимостью, по которой толщина вертикальной стенки

, (6.1)

где h– высота стенки, см.

Условие прочности запишем в виде

,

где – требуемый момент сопротивления сечения балки.

Требуемый момент инерции

,

где – момент инерции вертикальной стенки;

- собственный момент инерции сечения пояса.

По сравнению с моментом инерции сечения балки мал и им пренебрегаем. Площадь сечения пояса

Так как , то получим

;

. (6.2)

Теперь зависимость А_{б =} Ф(h). определена и можно найти ее экстремум –минимум, приравняв нулю первую производную:

;

,

откуда

. (6.3)

Несоответствие размерностей в формулах (6.2) и (6.3) вызвано вводом эмпирической зависимости (6.1). Пользоваться формулой (6.3) неудобно. Поэтому можно пользоваться эмпирической формулой

. (6.4)

Подставляя в формулу (6.4) (в Н∙мм) и в МПа, получим в миллиметрах. Для балок высотой 700…4000 мм погрешность формулы (6.4) по сравнению с формулой (6.3) не превышает 3%.

Для коробчатых балок толщину каждой из вертикальных стенок можно принять по эмпирической зависимости

.

Вывод, аналогичный использованному для формулы (6.3), дает для коробчатой балки

. (6.5)

При проектировании сварных балок делаются расчеты размеров всех её деталей (стенок, поясов, ребер и т.д.), а также сварных швов, опорных частей, проверка местной и общей устойчивости и др. Данные вопросы освещены в работах [1-5] и здесь не рассматриваются.

Контрольные вопросы к лекции № 6

1. Что называется балкой?

2. Какие поперечные сечения балок целесообразно применять, при их изгибе в одной плоскости, например вертикальной, и в двух плоскостях?

3. На какие усилия производят расчет прочности балки?

4. Какие усилия следует найти, чтобы иметь возможность начать подбор поперечного сечения балки?

5. Что такое жесткость балки, чем она измеряется?

6. От каких факторов зависит высота изгибаемой балки, можно ли назначать ее произвольной?

7. Высота каких балок при равной жесткости и равных допускаемых напряжениях должна быть выбрана большей: стальных или алюминиевых?

8. По какой формуле назначается высота балки из условия минимума веса?

9. Можно ли ожидать, что требуемые высоты балок, определенные из форм жесткости и минимума веса, будут близкими между собой?

10. На какой высоте балке должен остановиться проектант и почему?

11. Как производят подбор сечения балки, если задана ее высота?

12. Как конструируют балки переменного сечения, в чем их преимущество и технологические недостатки?

13. Какие виды напряжений следует проверить в подобранном сечении балки?

14. Какие отклонения расчетных напряжений от допускаемых являются приемлемыми и почему?

15. В каких сечениях и на каком горизонте проверяют нормальные напряжения от изгиба и по какой формуле?

16. То же касательные напряжения и по какой формуле?

17. То же местные напряжения от сосредоточенной силы и по какой «формуле?

18. В каких сечениях и на каком горизонте производят определение эквивалентных напряжений и по какой формуле?

19. От каких причин происходит потеря общей устойчивости балки, и как следует предотвратить это явление?

20. От каких причин происходит потеря местной устойчивости вертикального листа (от каких напряжений)?

21. Какие мероприятия принимаются для повышения местной устойчивости?

22. По каким формулам производят проверку местной устойчивости?

23. По каким формулам определяют напряжения от крутящего момента в балках двутаврового и коробчатого профилей?