Метод контурных токов

Метод контурных токов основан на том, что вместо токов ветвей электрической цепи определяются так называемые контурные токи, которые замыкаются в независимых контурах анализируемой цепи. Используя контурные токи, составляются уравнения равновесия цепи на основании второго закона Кирхгофа, которые называются контурными уравнениями. Решая эти уравнения, определяются контурные токи и затем рассчитываются токи и напряжения ветвей и элементов цепи.

Ранее было установлено, что число независимых контуров электрической цепи определяется числом главных ветвей цепи. Следовательно, для определения контурных токов достаточно составить систему из уравнений, используя второй закон Кирхгофа. Направления контурных токов могут быть выбраны произвольно. Однако направление обхода каждого контура обычно выбирают, совпадающим с направлением контурного тока этого контура.

Рассмотрим методику составления контурных уравнений на примере цепи, показанной на рис. 8.1, а, которая содержит шесть ветвей и четыре узла .

На рис. 8.1, б изображен граф цепи, дерево которого, состоит из ветвей 4, 5 и 6, выделенных жирными линиями. Из структуры дерева видно, что главными ветвями графа являются ветви 1, 2 и 3. Следовательно, цепь содержит три независимых контура.

Условимся сумму сопротивлений ветвей, входящих в рассматриваемый контур называть собственным сопротивлениемэтогоконтура, а сумму сопротивлений, общих для данного контура и смежного с ним контура взаимным сопротивлениемконтуров.

Для рассматриваемой цепи собственное сопротивление первого контура равно , второго контура — и третьего — . Соответственно взаимным сопротивлением первого и второго контуров равно , первого и третьего контуров — и второго и третьего контуров — .

а) б)

Рис. 8.1

При составлении контурного уравнения по второму закону Кирхгофа падение напряжения на собственном сопротивлении контура, обусловленное контурным током данного контура, записываются в левой части уравнения со знаком «плюс». Падение напряжения на взаимном сопротивлении, обусловленное током смежного контура, записывается также в левой части уравнения со знаком «плюс», если контурные токи смежных контуров направлены во взаимном сопротивлении одинаково, и со знаком «минус», если эти тока направлены встречно.

Выбираем направления контурных токи , и , пути протекания которых обозначена закруглённой стрелкой (рис. 8.1, а). Поскольку каждый контурный ток замыкаются в контуре, образованным одной из главных ветвей и ветвями дерева (рис. 8.1, б), то эти токи являются токами главных ветвей 1, 2 и 3, то есть , и .

Если рассматриваемый контур содержит идеализированные источники напряжения, то э.д.с. каждого такого источника записывают в правой части контурного уравнения со знаком «плюс», если её направление совпадает с направлением контурного тока, и со знаком «минус», если её направление противоположно направлению контурного тока. В результате, правая часть контурного уравнения представляет собой алгебраическую сумму э.д.с. идеализированных источников напряжения, входящих в контур. Такая сумма называетсяконтурной э.д.с. Если контур не содержит источников напряжения, то его контурная э.д.с. равна нулю.

Для цепи (рис. 8.1) контурная э.д.с. первого контура равна , второго контура — и третьего контура — .

На основании выше изложенного можно сформулировать следующее правило составления контурного уравнения: левая часть контурного уравнения составляется в виде алгебраической суммы произведения контурного тока на собственное сопротивление контура и произведений контурных токов смежных контуров на их взаимные сопротивления с данным контуром, а его правая часть — в виде контурной э.д.с.

Используя указанное правило, составляем систему контурных уравнений цепи (рис. 8.1, а):

Решая систему уравнений, находят контурные токи, зная которые рассчитывают токи и напряжения ветвей и элементов цепи. Например, ток четвёртой ветви будет равен и т.д.

Обобщая полученную ранее систему контурных уравнений на случай, когда электрическая цепь имеет независимых контуров, получаем:

Решение системы уравнений относительно k-го контурного тока может быть найдено с помощью определителей

,

где

— определитель системы с индексом «Z», который означает, что членами определителя являются комплексные сопротивления.

Дальнейшее преобразование k-го контурного тока осуществляется согласно правилу разложения определителя по элементам k-го столбца.

Если в состав цепи входят ветви, содержащие источник тока, то дерево графа целесообразно выбирать так, чтобы такие ветви являлись главными ветвями графа, а, значит входили в состав независимых контуров. Поскольку контурный ток контура, содержащего ветвь с источником тока, будет равен току этого источник, то такой контурный ток становится известной величиной. В результате, число необходимых контурных уравнений уменьшается до значения , где — число главных ветвей содержащих источник тока.

В качестве примера рассмотрим цепь, изображенную на рис. 8.2, а. С учётом указанных выше рекомендациями построим граф цепи (рис. 8.2, б), две главные ветви которого содержащие источники тока и .

В результате, контурные токи первого и второго независимых контуров (рис.8.2, б) являются известными величинами: и . Тогда для определения третьего контурного тока достаточно составить только одно уравнение

Решая уравнения, находим неизвестный контурный ток, и затем рассчитываем токи и напряжения ветвей и элементов цепи.

Лекция № 9