Согласование нагрузки с источником энергии

Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из источника энергии и нагрузки.

Пусть источник энергии представлен последовательной схемой замещения (рис 5.2), причем его внутреннее сопротивление имеет комплексный характер: . Задача согласования нагрузки с источником энергии заключается в выборе такого сопротивления нагрузки , при котором в цепи будут выполняться требуемый критерий согласования.

Первый критерий согласования источника с нагрузкой заключается в обеспечении максимума активной мощности, передаваемой в нагрузку. Активная мощность нагрузки

.

Отсюда видно, что является функцией двух переменных: и . В связи с тем, что вещественная и мнимая составляющая сопротивления нагрузки не зависят одна от другой, выбор значения каждой из этих величин соответствующего максимуму , можно производить в отдельности. Величина входит только в знаменатель выражения для активной мощности. Очевидно, что максимальное значение по этой переменной будет достигнуто, если . При этом .

Для определения значения , соответствующего наибольшему возможному значению (максимум-максиморум) активной мощности нагрузки , продифференцируем по и приравняем к нулю полученное выражение

, или .

Решая уравнение, находим условие , при котором этом активная мощность достигает максимально возможного значения (рис. 5.3, а)

.

а) б)

Рис. 5.3

Объединяя полученные условия, находим, что максимально возможное значение активной мощности нагрузки соответствует , то есть сопротивление нагрузки должно быть равно сопротивлению, комплексно сопряженному с внутренним сопротивлением источника.

В частном случае, если внутреннее сопротивление источника имеет резистивный характер ( ), то для согласования источника энергии с нагрузкой по критерию наибольшей активной мощности, передаваемой в нагрузку, сопротивление нагрузки должно быть равно внутреннему сопротивлению источника.

Второй критерий согласования источника с нагрузкой заключается в обеспечении максимума коэффициента полезного действия (КПД) цепи, который равен отношению активной мощности , потребляемой нагрузкой, к суммарной активной мощности в цепи

.

Зависимость КПД от резистивной составляющей сопротивления нагрузки показана на рис. 5.3, б. Из рисунка видно, что КПД цепи монотонно возрастает с ростом отношения , приближаясь к единице при . Таким образом, для согласования источника с нагрузкой по критерию максимума КПД, необходимо, чтобы резистивная составляющая сопротивления нагрузки была намного больше резистивной составляющей внутреннего сопротивления источника ( ).

Однако рассмотренные два критерия согласования источника энергии с нагрузкой не могут быть выполнены одновременно. Критерий максимума КПД применяется в основном в электротехнике в мощных электроэнергетических системах, а согласование по критерию максимума мощности, передаваемой в нагрузку, используется в радиотехнике в маломощных радиоэлектронных устройствах.

Тема 6. Анализ простейших электрических цепей при
гармоническом воздействии

Проанализируем методом комплексных амплитуд простейшие электрические цепи, составленные путем последовательного и параллельного соединения двух идеализированных пассивных элементов при гармоническом воздействии в виде напряжения

. (6.1)

где , и — действующее значение, круговая частота и начальная фаза напряжения.

6.1. Последовательная RL-цепь при гармоническом воздействии

Рассмотрим последовательную RL-цепь (рис. 6.1, а). Заменяя в схеме (рис. 6.1) сопротивление и индуктивность их комплексными схемами замещения и и переходя от вещественных функций тока и напряжения к комплексным действующим значениям и , получаем комплексную схему замещения (рис. 6.1, б).

Тогда на основании закона Ома для участка цепи (4.21) составляем в комплексной форме уравнение электрического равновесия цепи (рис. 6.1, б)

,

где — комплексное сопротивление цепи в алгебраической форме записи.

Преобразуем алгебраическую форму записи комплексного сопротивления RL-цепи в показательную

,

где и — модуль и аргумент комплексного сопротивления цепи.

Комплексное сопротивление цепи может быть изображено на комплексной плоскости в виде вектора , равного геометрической сумме векторов и (рис. 6.2, а).

При конечных значениях , и аргумент комплексного сопротивления последовательной RL-цепи имеет положительное значение и находится на интервале , что соответствует резистивно-индуктивному характеру сопротивления цепи. При рассмотрении Закона Ома в комплексной форме было показано, что аргумент комплексного сопротивления участка цепи равен фазовому сдвигу фаз между напряжением и током цепи. Откуда следует, что напряжение последовательной RL-цепи опережает по фазе её ток на угол .

Используя закон Ома в комплексной форме, найдем комплексное действующее значение тока цепи

.

где и — модуль и аргумент комплексного действующего значения тока.

Переходя от изображения тока к его оригиналу, получаем

,

где — амплитуда тока.

Таким образом, при известной частоте временная функция тока полностью определяются модулем и аргументом комплексного действующего значения этого тока. Поэтому при расчёте цепи достаточно найти только комплексные амплитуды или комплексные действующие значения токов и напряжений.

Векторная диаграмма комплексных тока и напряжений RL-цепи показана на рис. 6.2, б. Поскольку напряжение на сопротивлении совпадает по фазе с током, то вектор совпадает по направлению с вектором . Так как напряжение на индуктивности опережает по фазе ток на , то вектор повернут относительно вектора на угол против часовой стрелки. В результате, вектор суммарного напряжения повернут относительно вектор тока против часовой стрелки на угол , равный аргументу комплексного сопротивления цепи. Откуда следует, что напряжение опережает по фазе ток на угол . Из рис. 6.2 видно, что «треугольник напряжений», образованный векторами , и (рис. 6.2, б), подобен «треугольнику сопротивлений», образованному векторами , и (рис. 6.2, а).

В прямоугольном «треугольнике напряжений» (рис. 6.2, б) действующие значения напряжений на входе цепи является гипотенузой, которая может быть выражена через катеты, представляющие собой действующие значения напряжений на элементах цепи

.

Лекция № 8

6.2. Последовательная RC-цепь при гармоническом воздействии

Схема последовательной RC-цепь при гармоническом воздействии (6.1) показана на рис. 6.3, а, а на рис. 6.3, б — её комплексная схема замещения.

На основании закона Ома для участка цепи (4.21) составляем в комплексной форме уравнение электрического равновесия цепи (рис. 6.3, б)

,

где — комплексное сопротивление последовательной RC-цепи.

Запишем комплексное сопротивление последовательной RC-цепи в показательной форме

,

где и — модуль и аргумент комплексного сопротивления цепи соответственно.

Векторная диаграмма комплексного сопротивления цепи показана на рис. 6.4, а.

Как и в случае последовательной RL-цепи (рис. 6.1, б) аргумент комплексного сопротивления RC-цепи равен фазовому сдвигу фаз между напряжением и током цепи. Однако при конечных значениях , и этот фазовый сдвиг отрицательный и находится на интервале , что соответствует резистивно-емкостному характеру сопротивления цепи.

Определим ток цепи, используя закон Ома в комплексной форме

,

где и — модуль и аргумент комплексного действующего значения тока

Векторная диаграмма комплексных напряжений и тока последовательной RC-цепь изображена на рис. 6.4, б, из которой видно, что напряжение цепи отстаёт по фазе от тока на угол j. В этом отношении последовательная RC-цепь дуальна последовательной RL-цепи.

6.3. Параллельная RL-цепь при гармоническом воздействии

Рассмотрим параллельную RL-цепь (рис. 6.5, а) при гармоническом воздействии (6.1), а на рис. 6.5, б её комплексная схема замещения, где и — комплексные проводимости сопротивления и индуктивности соответственно

Составим для комплексной схемы замещения уравнение электрического равновесия на основании первого закона Кирхгофа в комплексной форме

;

где — комплексная проводимость параллельной RL-цепь.

Запишем комплексную проводимость параллельной RL-цепи в показательной форме

,

где и — модуль и аргумент комплексной проводимости параллельной RL-цепи соответственно.

Поскольку комплексная проводимость есть величина обратная комплексному сопротивлению , то . Следовательно, аргумент комплексной проводимости участка цепи равен по абсолютной величине фазовому сдвигу фаз между напряжением и током цепи, но имеет противоположный знак, то есть .

Векторная диаграмма комплексной проводимости параллельной RL-цепи показана на рис. 6.6, а. При конечных значениях , и аргумент комплексной проводимости параллельной RL-цепи имеет отрицательное значение и находится на интервале , что соответствует резистивно-индуктивному характеру проводимости цепи. Следовательно, напряжение параллельной RL-цепи опережает по фазе её ток на угол .

Используя закон Ома, найдем комплексное действующее значения тока цепи

,

где и — модуль и аргумент комплексного действующего значения тока

Векторная диаграмма комплексных токов и напряжения -цепи изображена на рис. 6.6, б, из которой видно, что напряжение цепи опережает по фазе ток на угол .

6.4. Параллельная RС-цепь при гармоническом воздействии

Рассмотрим параллельную -цепь (рис. 6.7, а) при гармоническом воздействии (5.1).

На рис. 6.7, б изображена схема замещения параллельной RC-цепи, где ; — комплексные проводимости сопротивления и ёмкости соответственно.

На основании первого закона Кирхгофа составим уравнение электрического равновесия цепи в комплексной форме

;

где — комплексная проводимость параллельной RC-цепи.

Запишем комплексную проводимость параллельной RC-цепи в показательной форме

,

где и — модуль и аргумент комплексной проводимости параллельной RC-цепи.

Векторная диаграмма комплексной проводимости параллельной RC-цепи показана на рис. 6.8, а. Поскольку аргумент комплексной проводимости находится на интервале , то проводимость имеет резистивно-ёмкостной характер.

Используя закон Ома, найдем комплексное действующее значения тока цепи

,

где и — модуль и аргумент комплексного действующего значения тока.

Векторная диаграмма комплексных напряжения и токов последовательной RC-цепи изображена на рис. 6.8 б, из которой видно, что напряжение цепи отстаёт по фазе ток на угол .

Анализ простейшие электрических цепей при гармоническом воздействии, выполненный с помощью метода комплексных амплитуд, показал следующее.

1) Комплексные сопротивление и проводимость участка цепи, содержащего хотя бы один реактивный элемент, зависят не только от параметров элементов цепи и вида их соединения между собой, но и от частоты гармонического воздействия.

2) При известной частоте гармонического воздействия для определения временные функции напряжений и токов цепи достаточно найти комплексные амплитуды или комплексные действующие значения этих напряжений и токов.

3) Фазовый сдвиг между входным напряжением и входным током цепи равен аргументу комплексного сопротивления цепи.