Уравнение конвективного переноса субстанций


а) импульс: пусть рабочая среда однофазная, неразрывная и изотропная (однородная), жидкость несжимаемая (ρ=const) и вязкая (μ≠0). В этом случае для оси z можно записать:

(дифференциальное уравнение движения несжимаемой вязкой жидкости для нестационарного потока).

проекция локальных скоростей на координатной оси.

Это уравнение имеет 2 физических смысла:

1) баланс сил, действующих на движущийся элементарный объём жидкости dV.

2) основное балансовое соотношение (обс) по импульсу.

Это уравнение можно записать компактно:

оператор Лапласа (лапласиан), то есть сумма вторых производных от данной величины по координатным осям.

локальное накопление импульса (в данной точке жидкости) во времени за счёт изменения местной скорости в этой точке во времени.

локальное накопление импульса за счёт сил инерции.

локальное накопление импульса за счёт сил гравитации или источник, или сток импульса в пространственном контуре dV под действие внешней силы, то есть силы гравитации.

локальное накопление импульса под действие сил давления.

локальное накопление импульса за счёт сил внутреннего трения, то есть вязкости жидкости.

Из этого уравнения могут быть получены уравнения движения жидкости Эйлера и уравнение равновесной неподвижной жидкости Эйлера.

Из уравнения движения жидкости Эйлера можно получить уравнение Бернулли, а из уравнения равновесной неподвижной жидкости Эйлера – основное уравнение гидростатики.

б) уравнение конвективного переноса теплоты для нестационарного потока в движущейся среде: пусть рабочая среда однофазная, неразрывная и однородная; Ср = const, ρ = const, λ = const. В этом случае обс запишется:

– уравнение Фурье-Кирхгофа (дифференциальное уравнение переноса теплоты для нестационарного потока).

t – температура жидкости.

проекция локальных скоростей на координатной оси.

коэффициент теплопроводности жидкости.

удельная массовая изобарная теплоёмкость жидкости.

локальное накопление теплоты во времени за счёт изменения температуры жидкости во времени в данной точке жидкости (для нестационарного потока).

локальное накопление теплоты за счёт конвекции.

локальное накопление теплоты за счёт кондукции (теплопроводности).

локальное накопление/выделение теплоты за счёт источников или стоков.

источник/сток теплоты в единице объёма жидкости за 1с, .

В целом, уравнение Фурье-Кирхгофа характеризует локальное накопление теплоты в движущемся элементарном контуре жидкости dV.

в) рассмотрим обс для переноса массы (вещества) в движущейся жидкости для нестационарного потока. Пусть рабочая среда однофазная, неразрывная и изотропная (однородная), коэффициент молекулярной диффузии D = const.

В этом случае можно записать:

- уравнение конвективного переноса массы (вещества) для нестационарного потока Фика.

С – концентрация вещества, [C] = .

время.

локальное накопление вещества во времени за счёт изменения его концентрации во времени в данной точке жидкости.

локальное накопление вещества во времени за счёт конвекции.

локальное накопление вещества за счёт молекулярной диффузии.

источник/сток вещества в элементарном контуре dV за счёт химического превращения.

Отсюда видна аналогия дифференциальных уравнений конвективного переноса субстанций. Эта аналогия особенно характерна для переноса теплоты и вещества, и в меньшей степени для импульса.

Моделирование ХТП

В химико-технологических процессах имеет место множество факторов (t, p, w, ρ, μ, σ…).

Математическая модель – система уравнений и н6еравнтсв, адекватно описывающих данный процесс. Аналитически вывести математическую модель процесса сложно, к тому же, при этом получаются трудно разрешимые дифференциальные уравнения, поэтому применяют моделирование ХТП.

Имеется 2 метода моделирования:

1) метод теории подобия (метод обобщённых переменных), т.е физическое моделирование;

2) метод численного моделирования, т.е математическое моделирование (эксперимент).

На модель накладываются определённые ограничения, которые определяются условиями однозначности:

1) геометрическая форма (конструкция и размеры модели);

2) физические свойства компонентов (ρ, μ…);

3) начальные условия (tнач, начальная концентрация и т.д.);

4) граничные условия (например, местная скорость жидкости на поверхности стенки равна 0).

При физическом моделировании получают уравнение в обобщённых переменных, т.е. критериальные уравнения. Их получают экспериментально, но опыты проводят не на промышленном аппарате (в натуре), а на его лабораторной модели. Лабораторная модель должна отвечать определённым требованиям, которые устанавливает теория подобия.

Теория подобия

Теория подобия – учение о методах научного обобщения результатов экспериментов для подобных процессов и явлений.

Чтобы натуральный объект и его лабораторная модель были подобны, между ними должны существовать:

1) геометрическое подобие;

2) физическое подобие;

3) временное подобие;

4) подобие начальных условий;

5) подобие граничных условий.

Подобия можно задавать с помощью констант подобия или инвариантов подобия.

Чтобы натура и модель были подобны должны быть постоянны отношения их сходственных величин.

а) натура б) модель

сходственные точки натуры и модели.

Составим константу геометрического подобия (масштабный множитель):

Запишем константу подобия скоростей жидкости:

Аналогично записываются константы подобия плотностей, вязкостей, давлений и т.д.

Составим константу временного подобия:

Константа временного подобия говорит о том, что промежутки времени, в течение которых частицы жидкости в натуре и модели описывают геометрически подобные траектории, находящиеся в постоянных соотношениях. При наличии подобия начальных и граничных условий постоянны отношения сходственных величин в начале и на границе натуры и модели.

Константы подобия зависят от соотношения размеров натуры и модели. Это создаёт трудности при масштабном переходе от натуры к модели. Этот переход осуществляется в несколько этапов:

1) проводят эксперименты на лабораторной модели;

2) на основе лабораторных экспериментальных данных создают пилотную установку и экспериментируют на этой установке;

3) проводят опыты на опытной полупромышленной установке;

4) на основе полученных данных создают промышленную установку.

Инварианты подобия не зависят от соотношения размеров натуры и модели. Их составляют в виде соотношений сходственных величин в пределах одной системы.

Запишем инвариант геометрического подобия:

Запишем инвариант подобия давления:

Аналогично записывают инварианты подобия скоростей, вязкостей и т.д.

Инвариант подобия, составленный в виде отношения одноимённых сходственных величин – параметрический критерий, или симплекс (∆).

Инвариант подобия, составленный в виде отношения разноимённых сходственных величин – критерий подобия.



Дата добавления: 2017-09-01; просмотров: 1668;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.012 сек.