Взаимодействие оптической волны со средой

До сих пор мы говорили о средах без учета распространения в них света, представляющего собой электромагнитную волну. Что происходит, когда оптическая волна распространяется в изотропной среде (материале)?

Как известно, электроны в атоме заряжены отрицательно, а ядро несет положительный заряд. Электрическое поле синусоидальной оптической волны, распространяющейся через материал, воздействует на него. Под действием силы внешнего электрического поля в материале изменяются колебания заряженных частиц атома. В результате такого взаимодействия мощность световой волны уменьшается, т.е. происходит поглощение света. Колеблющиеся заряды атома переизлучают полученную от световой волны мощность на собственных частотах ω₀. Таким образом, синусоидальная оптическая волна частотой в создает систему осцилляторов (диполей). Средняя во времени излучаемая осциллятором мощность в соответствии с законом Рэлея [7] представляется в виде:

(2.26)

где q — заряд частицы, колеблющейся по синусоидальному закону с частотой ω, с — скорость света в вакууме; ε — диэлектрическая проницаемость среды (материала);

Комплексная амплитуда вынужденных колебаний частицы с частотой ω

(2.27)

где m, a, ω₀ — соответственно масса покоя, коэффициент «трения» и резонансная частота частицы.

Поэтому при взаимодействии оптического поля со средой возникают электрические диполь. На микроскопическом уровне плотность дипольных моментов характеризуется вектором поляризации среды. Если в единице объема имеется N одинаковых атомов, каждый из которых содержит, например, η электронов, то вектор поляризации

(2.28)

Таким образом, индуцированная электрическая поляризация материала, или просто поляризация, может быть описана при помощи вектора р, который зависит как от особенностей материала, так и от прилагаемого поля. Индуцированная поляризация рассматривается как отклик среды на прилагаемое электрическое поле. Рассмотрим связь р и Е более подробно, определив вначале вектор D, называемый электрической индукцией:

(2.29)

где ε_ст — постоянная, называемая статической диэлектрической проницаемостью среды, в нашем случае ОВ.

Исходя из (2.28) и (2.29), комплексную диэлектрическую проницаемость можно представить в виде суммы статической и динамической составляющих:

(2.30)

Откуда

(2.31)

Для чистого стекла (плавленого кварца без примесей, химическая формула которого SiO₂) резонансная частота электрона ω₀ расположена в ультрафиолетовой области спектра.

Следовательно, в видимой и ближней инфракрасной областях спектра (ω<<ω₀) диэлектрическая проницаемость практически постоянна:

(2.32)

В реальных стеклах, кроме атомов Si и О, в единице объема содержатся и ионы примесей (ионы — ОН, Fe, Cu, Cr и др.), а также молекулы. Таким образом, для реального стекла в выражение (2.31) необходимо добавить столько членов вида второго члена, сколько имеется диполей, обусловленных примесями. Молекула массивна, поэтому ее ω₀ находится вне спектра частот, используемого в ВОСП. Связь р и E в оптическом волокне определяется свойствами среды (кварца) и является причиной двух важных явлений, относящихся к распространению в нем света, — дисперсии и нелинейным эффектам, которые налагают ограничения на функционирование современных систем ВОСП.

Волновые уравнения

Для математического анализа распространения электромагнитных волн в диэлектрических волноводах (оптических волокнах) методом волновой оптики необходимо воспользоваться уравнениями Максвелла (2.16) — (2.21). Из этих уравнений можно получить более удобное для практики уравнение, взяв операцию ротора от уравнения (2.17) с учетом (2.19),

(2.33)

Подставив (2.16) и (2.18) в (2.33), получим уравнение, содержащее только один вектор Е:

(2.34)

Это уравнение справедливо и в том случае, когда ε изменяется в пространстве, т.е. для неоднородной среды. Первый член выражения (2.34), исходя из векторной алгебры, можно представить в виде:

, (2.35)

где — оператор Лапласа.

Заменив в этом уравнении вектор Е на D/ε, можно получить выражение первого члена правой части в виде:

. (2.36)

Поскольку то

(2.37)

Тогда с учетом (2.35), (2.36) и (2.37) уравнение (2.34) принимает вид:

(2.38)

Аналогично можно получить волновое уравнение для вектора Н, взяв операцию ротора от уравнения (2.16),

(2.39)

Рассмотрим решение уравнения (2.38) в разных средах.

В частном случае, когда среда однородна по координатам пространства ε=const и не зависит от частоты, уравнение (2.38) принимает вид:

(2.40)

Такой же вид в данной среде принимает и уравнение (2.39). Уравнение (2.40) справедливо для любой компоненты поля в декартовой системе координат. В цилиндрической системе координат оно справедливо только для составляющей E_z. Величина имеет физический смысл скорости в среде с диэлектрической и магнитной проницаемостями ε/ε₀ и μ/μ₀, где ε₀, μ₀ — диэлектрическая и магнитная проницаемости вакуума. Как отмечалось ранее, в оптических средах везде считается, что μ/μ₀=1.

Решение уравнения (2.40) может удовлетворяться любой функцией [8]:

, (2.41)

если существует вторая производная от ψ. Это решение представляет плоскую волну. В выражении (2.41) компоненты r являются координатами точки наблюдения, n — единичный вектор, номальный к плоскости, а v не зависит от частоты. Действительно, при фиксированном значении времени t и заданном значении аргумента этой функции

(2.42)

функция ψ (u) имеет соответствующее фиксированное значение. Поэтому ψ (u) имеет одно и то же значение на этой бесконечной плоскости. Каждому приращению Δt соответствует приращение Δr, так что величина (2.42) остается неизменной, т.е.

. (2.43)

Вектор n является нормалью как к первоначальной, так и к смещенной плоскости. Из (2.42) следует, что плоскость движется в пространстве со скоростью v. Частным случаем являются такие решения уравнения (2.40), которые в каждой точке пространства изменяются во времени по косинусоиде

. (2.44)

Вектор называется волновым вектором. Все частотные составляющие сигнала распространяются с одной и той же фазовой скоростью. Следовательно, сигнал не претерпевает дисперсии.

В однородной дисперсионной среде при ε=ε(ω) и v=v(ω) решение (2.41) является приближенным, если дисперсия слабо выражена. В компонентах ВОСП это условие обычно выполняется.

Рассмотрим два случая: возбуждение сигнала ψ(t) некоторой светящейся плоскостью и некоторой светящейся поверхностью неплоской структуры.

Пример первый. Если некоторый сигнал ψ(t) возбуждается некоторой светящейся плоскостью, на которой этот сигнал можно представить в виде суперпозиции синусоидальных колебаний с помощью преобразования Фурье, то каждое гармоническое колебание (2.44) распространяется через дисперсионную среду как плоская волна. Такого типа волну ψ(t) можно представить в виде комплексного интеграла Фурье, располагая систему координат для удобства таким образом, чтобы она распространялась вдоль оси z. Тогда

(2.45)

Амплитудная функция φ(ω) определяется через известную форму сигнала при z=0:

(2.46)

Таким образом, сигнал в пространстве дисперсионной среды представляется совокупностью волн, каждая из которых находится в своей плоскости и движется со своей скоростью.

Пространственная длительность сигнала (Δz), представленная на рис. 2.18, определяется расстоянием между плоскостью 1 с гармоническим колебанием сигнала частотой и плоскостью N с гармоническим колебанием ω₂.

Напомним, что эти представления пригодны для случая, когда v слабо зависит от частоты или функция ψ(z,t) описывается узким спектром частот по сравнению с оптической несущей. Последнее условие в ВОСП также выполняется.

Фазовая скорость не имеет смысла для функции (2.45), однако эта функция правильно описывает распространение плоской волны общего вида в дисперсионной среде.

Изложенные выше представления полей, распространяющихся в дисперсионной среде, можно использовать и в случае возбуждения сигнала ψ(t) некоторой светящейся поверхностью неплоской структуры.

Пример второй. Криволинейную поверхность представим в виде совокупности плоских волн. На выходе реальных источников излучения, которыми являются лазеры, колебания сферические. Поэтому на малом расстоянии от лазера излучение представляется совокупностью плоских волн.

Используя суперпозицию плоских синусоидальных волн со всевозможными частотами, бегущих во всевозможных направлениях, можно составить общее выражение для волны, распространяющейся в дисперсионной среде:

(247)

Здесь k_z или любая другая составляющая волнового вектора должна удовлетворять условию:

. (2.48)

Составляющая k_z, может быть мнимой, когда подкоренное выражение отрицательно. В этом случае вместо плоской волны имеем дело с нераспространяющейся (локальной) волной. Такие волны также являются решениями волнового уравнения (2.40).

Интегральное представление (2.47) более общей волны состоит из плоских волн всевозможных направлений распространения и всевозможных частот, а также и из нераспространяющихся (локальных) волн. При гармоническом (синусоидальном) сигнале интегрирование по частоте можно исключить.

Граничные условия

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме (2.16), (2.17) справедливы для линейных сред, параметр ε которых либо не зависит от координат, либо является непрерывной функцией координат. На практике, часто рассматриваемая область состоит из двух (или более) разнородных сред. При анализе макроскопических свойств поля в этих случаях обычно приходится считать, что параметр ε на границе раздела сред меняется скачком. Операция дифференцирования в точках, принадлежащих границе раздела, незаконна, и уравнения Максвелла в дифференциальной форме в этих точках теряют смысл. Поэтому для изучения поведения векторов электромагнитного поля при переходе из одной среды в другую нужно исходить из уравнений Максвелла в интегральной форме, которые остаются справедливыми и в этих случаях. Соотношения, показывающие связь между значениями векторов электромагнитного поля в разных средах у поверхности раздела, называются граничными условиями. Уравнения Максвелла не определяют электромагнитное поле полностью без задания граничных условий.

В задачах о неоднородных структурах без скачкообразного изменения граничным условием обычно является требование исчезновения поля в бесконечности и ограниченность поля внутри любой конечной области пространства. Требование отсутствия поля в бесконечности приводит к направляемым модам (типам волн), поле которых ограничено направляющей структурой (системой), при этом не теряется их мощность на излучение.

Наиболее общий тип граничных условий в световодных устройствах соответствует кусочно-однородному распределению ε. Представляют интерес граничные условия для переменных во времени полей. Искомые граничные условия получаются из уравнений Максвелла путем интегрирования их по объему, выбираемому на границе раздела сред. Стягивая объем в точку, в пределе получаем равенство тангенциальных составляющих электрического и магнитного полей на границе раздела сред:

Н_t1=H_t2, E_t1=E_t2 (2.49)

Физический смысл этих соотношений состоит в том, что тангенцианальные составляющие полей Н и Е непрерывны на границе раздела сред. Граничные условия совместно с условиями на бесконечности определяют конкретные решения уравнений Максвелла для конкретной задачи. При этом поля представляются в виде некоторых функций координат, частот и времени. В этом состоит волновой метод решения задач.