Использование теории множеств в абстрагировании

Одно абстрактное понятие может содержать в себе множество менее абстрактных, а те в свою очередь могут состоять друг с другом в различных логических отношениях, а именно: вхождение (лексические выражается союзом «В», либо соответствующими ему по смыслу выражениями); пересечение объёмов понятий (союз «И»); сложение объёмов понятий (союз «ИЛИ»); логическая разность (союз «БЕЗ»). Изучением этих и других логических отношений занимается логика предикатов (высказываний) и математическая теория множеств. Классическую теорию множеств первым начал разрабатывать выдающийся немецкий математик конца XIX – начала XX веков Георг Кантор. Эту теорию можно использовать в историческом научном моделировании в качестве эффективного методического инструмента систематизации, формализации и алгоритмизации исторической информации.

Таким образом, понятию «абстракция» соответствует понятие «множество». Историк в этом смысле занимается выявлением и изучением множеств событий и объектов прошлого, а также отношений между этими множествами и элементами (микрособытиями), входящими в них.

Конкретизации абстрактных понятий соответствует задавание состава множества.

Задать множество можно двумя способами:

1. С помощью определения условий и признаков вхождения элементов в множество, то есть конкретных исторических фактов – в абстракцию.

2. С помощью полного или частичного перечисления состава множества. Число элементов в множестве показывает мощность множества (для историка исторический масштаб события).

Операции задавания множества особенно часто используются в методе исторической типологизации.

В историческом исследовании не всегда возможно полное перечисление состава масштабных событий и явлений. Такие трудности вызваны с одной стороны огромным объёмом информации о некоторых исторических событиях, с другой стороны – слишком недостаточной информацией о других событиях. Преодоление первого препятствия возможно с помощью создания электронных баз данных по историческому прошлому и компьютерных интеллектуальных баз знаний с автоматизацией анализа и представления информации. Именно для этих целей историк должен владеть основами математической логики.

Основные обозначения логических отношений:

Ì знак вхождения одного множества в другое, читается A Ì B – «A содержит B», «B входит в А»;

Î знак принадлежности элемента к множеству, читается aÎ A – «элемент a входит в множество А» или «множество А содержит элемент a»;

È знак пересечения объёмов множеств, читается A È B – «A пересекается B», «A и B одновременно»

Ç знак сложения (объединения множеств), читается A Ç B – «A или B» «A объединённое с B», «A вместе с B»

\знак логической разности, читается A \ B – «A без B»

Отношение между абстрактными понятиями можно описывать на естественном литературном языке исторического повествования, на формализованном языке математической логики, а также с помощью так называемых диаграмм Венна. Английский логик конца XIX – начала XX веков Джон Венн разработал графический аппарат для визуализации отношений между объёмами понятий и множеств. Диаграммы Венна – это плоские фигуры, отношения между которыми в пространстве, а также их раскраска, соответствуют логическим отношениям между обозначаемыми этими фигурами понятиями[54].

Ниже приведён пример того, как одно и то же историческое явление можно описывать на естественном языке, на формализованном языке логики, и с помощью диаграмм Венна (рис. 10).

История Франции в XVII веке связана с историей культуры Западной Европы в целом, которая в это время характеризуется специфическими чертами культуры раннего Нового времени. Одной из таких черт было становление научного мировоззрения. В ходе этого становления можно рассмотреть деятельность математиков французов католического вероисповедания, среди которых особо выделяется Рене Декарт. Одним из переломных моментов в судьбе Р.Декарта была ночь 10-11 ноября 1619 г. в г. Ульме, где он испытал интеллектуальное откровение об основах “всеобщей науки”. Один из основных трудов Р.Декарта – книга «Рассуждение о методе», которая сохранилась до наших дней и оказала значительное влияние на западную науку и философию.

Тот же текст с использованием правил логической формализации высказываний можно представить следующей форме:

(Фрация в XVII веке È (Культура Западной Европы Ì Культура Европы в раннее Новое время Ì Становление научного мировоззрения Ì ((Математики È Учёные католики È Учёные французы) Ì Декарт Î Декарт в ночь 10-11 ноября 1619 г. в г. Ульме испытал интеллектуальное откровение))) È Книга Р.Декарта «Рассуждение о методе».

На рис. 10. тот же текст, выраженный с помощью диаграмм Венна. На диаграммах Венна с помощью площадей фигур можно также показать соотношение масштабов или объёмов понятий и обозначаемых ими явлений. На рис. 10. такое соотношение не учитывается, однако приблизительное соотношение объёмов понятий, соответствующее степени абстрагирования от исторической конкретики, указано с помощью толщины линий (чем тоньше линия, тем абстрактнее событие).

Отношения между понятиями, явлениями и событиями можно представить также в матрице данных, где в названиях строк и столбцов будут обозначения понятий или исторических явлений и событий, а в ячейках – обозначения логических отношений между ними.

10.4. Использование теории графов в причинно-следственном и структурно-функциональном анализе

Ещё одним полезным методом, используемом в историческом научном моделировании, может быть теория графов. В графе причинно-следственных связей каждое ребро (стрелка) может символизировать также обобщающий нормативный закон, связывающий причину и следствие. В виде графа восстанавливается генеалогия нарративных источников, имеющих серию списков (например, списки и своды древнерусских летописей). В этом случае между вершинами графа (конкретными текстами) будут отношения «быть составленным на основе», «содержать в себе части из текста» и т.п. И генеалогия кровно-родственных связей у людей, и историческая текстология – это, по сути, изучение причинно-следственных связей. В изображении причинно-следственных связей стрелка чаще всего изображает отношение – быть причиной (или быть условием).

Системы взаимосвязанных событий можно разделить на объективные и субъективные. Объективные системы – это такие, чей системообразующий принцип, существует независимо от человеческого сознания (подробнее см. Главу 6). В случае субъективных систем, человек произвольно мысленно объединяет несколько связанных объектов или событий, исходя из какого-либо общего принципа. Например, любая констелляция (стечение обстоятельств от латинского con-stellatio – взаиморасположение[55]) исторических событий может рассматриваться как субъективная система (поскольку при выделении констелляции событий всегда происходит субъективный отбор фактов). Общесистемной функцией в этом случае будет следствие всех взаимодействующих событий. Например, в качестве результата некоей констелляции событий можно рассматривать рождение, смерть или важный поступок исторического деятеля. Это будет многофакторным причинно-следственным анализом совокупности событий, субъективно выделенной из бесконечного множества всех причинно-следственных связей прошлого. Системным подходом историки часто называют именно многофакторный причинно-следственный анализ исторических ситуаций. Констелляции обстоятельств удобно визуально представлять в виде графов (рис. 11). Особенно удобными граф-схемы оказываются, когда необходимо создать целостный образ сложной системы из множества причинно-следственных связей, то есть образ исторической ситуации.

В качестве замечательного примера использования граф-схемы в описании исторического явления стоит рассмотреть схему развития декабристских и связанных с ними организаций, созданную отечественной исследовательницей В.А.Пушкиной в середине 1980-х годов[56]. На этой схеме с 1811 г. («Юношеское собратство», основанное Н.Н.Муравьёвым) до 1825 г. (дворянские общества, прямо или косвенно причастные к восстаниям в декабре 1825 г.) показаны преемственность и все взаимосвязи между дворянскими обществами. Каждая вершина этого большого графа представляет собой таблицу поимённого описания состава конкретной дворянской организации с указанием основных личных данных (всего на схеме 37 таких вершин). Весь граф одновременно наложен на хронологическую шкалу. Хотя сама создатель схемы не обращается непосредственно к теории графов, очевидно, что её схема – это интуитивный приход к методикам теории графов и базам данных.

В графе, описывающем причинно-следственные связи, нельзя использовать двухсторонние стрелки или ненаправленные дуги. Связь всегда направлена от причины к следствию, что тождественно направлению времени из прошлого в будущее. Если следствие начинает обратное воздействие на явления, послужившие их причиной, то это воздействие уже не на те же самые объекты, а на другие - изменившиеся во времени. Если абстрагироваться от движения во времени, можно представить взаимодействие между явлениями, когда поочерёдно каждое из явлений относится к другому то как объект воздействия, то как воздействующий субъект. Такое взаимодействие следует рассматривать не как причинную связь между событиями, а как функциональную связь между частями системы. При этом должны использоваться методы не причинно-следственного, а системного анализа.

Причина действия компонента какой-либо системы объясняется благотворное воздействие данного компонента на работу всей системы. Такое объяснение можно определить как объяснение через следствие; оно объясняет возникновение объясняемого в терминах его следствий. Это описание поднимает проблему телеологии (от греческого teleos – достигший цели) ­ объяснения обстоятельства в терминах его будущих эффектов. Обычно телеология (идея целесообразности мира) считается более философским учением, чем научной концепцией. Функциональные объяснения в наибольшей степени применимы к системам, которые имеют тенденцию к саморегуляции или самокоррекции, ведущую к сохранению системы равновесного состояния в противовес случайным возмущениям окружающей среды. В социальных науках подобными состояниями могут быть: общественный порядок, экономическая эффективность или однородность ценностных систем. Когда система отходит от своего оптимального состояния, включается функциональная петля, возвращающая систему в состояние равновесия. В качестве примера функциональной саморегуляции можно рассмотреть взаимодействия между ценами, спросом и предложением в экономике. Когда спрос на какой-либо товар возрастает, цена его также проявляет тенденцию к росту. Растущие цены побуждают к вхождению в рынок новых производителей, а уже существующих производителей — к расширению производства, что увеличивает предложение товара, и цена снова начинает падать. Этот механизм работает таким же образом и в обратном направлении — в ситуации снижения цен и спроса[57].

В системном структурно-функциональном анализе при использовании частично изолирующего абстрагирования стоит помнить, что анализ будет тем полней и результативней, чем больше связей каждого компонента системы с каждым другим компонентом будет изучено. В идеале нужно стремиться к изучению всех возможных связей между всеми изучаемыми компонентами. Не все потенциально возможные связи между компонентами системы имеют место в реальности, но проверить имеет смысл все. Планировать и проводить такой полный анализ удобно ориентируясь на граф-схему, в виде фигуры, в которой все вершины (компоненты системы) соединены линиями (взаимодействием между компонентами), например, так, как это показано на рис. 12.

Количество возможных направлений связи каждого компонента системы с каждым (если принять что два компонента связаны только одной связью) можно предсказать, используя комбинаторную формулу для подсчёта числа сочетаний из n элементов по k элементов. Для структурно-функционального анализа n – число всех компонентов в изучаемой системе, k=2 – минимальному количеству компонентов, необходимых для образования связи.

Формула эта такова[58]: n!/ k!(n - k)!, где восклицательный знак означает математическое действие под названием факториал. Факториал числа n равен произведению натуральных чисел от единицы до данного натурального числа n, например 6!=1_*2_*3_*4_*5_*6. Для системы из 6 компонентов, как на рис. 12. для полноты анализа необходимо учесть 15 возможных направлений взаимосвязей. Конечно, для систем с малым числом изучаемых компонентов вовсе необязательно проводить комбинаторные вычисления. Для систем же с большим числом компонентов такой подсчёт был бы очень полезен, хотя бы для того, чтобы соотнести объём идеального наиболее полного анализа, с объёмом реально проделанного частичного анализа. Для очень больших систем также не удобным будет использование графа взаимодействий, удобнее будет использовать таблицу с комбинациями возможных взаимодействий.

Призывая к использованию математической логики и комбинаторики в историческом познании, стоит всё же констатировать, что содержательная смысловая нетождественность, разносортность вершин и ребер в граф-схемах исторических причинно-следственных связей (каузальных диаграммах) не позволяет в полной мере использовать стандартизированный логико-математический аппарат для перевода этих граф-схем на язык математической логики. В социальных науках чаще всего простейшие арифметические и комбинаторные подсчёты соотношений вершин и рёбер в граф-схемах, описывающих социальные явления, служат только для наглядности, а также для удобной систематизации и структурирования событий и фактов. Для историка гораздо важнее умение перевести образную символики схем в историческое повествование на естественном литературном языке.