Заряды. Функции с ограниченным изменением.

Пусть задано измеримое пространство (X, S). Отображение n : S®R называется зарядом (или знакопеременной мерой), если n(f) = 0 и функция n счётно-аддитивна, т. е. из разложения , , , следует, что .

Мы рассматриваем заряды, принимающие лишь конечные значения.

Пример 1. Пусть – пространство с мерой m, S – s-кольцо измеримых подмножеств из X, – функция, интегрируемая на X. Тогда функция множества

(1)

является зарядом.

Пример 2. Пусть на X заданы две меры m₁ и m₂ их разность, очевидно, является зарядом.

Пусть – заряд, заданный по формуле (1). Обозначим . Получаем представление

(2)

Так как на множестве функция f положительна, то и, значит, – мера. Аналогично является мерой. Получаем представление заряда в виде разности двух мер.

Измеримое множество называется положительным (отрицательным) относительно заряда n, если для любого измеримого подмножества , . Пустое множество является и положительным и отрицательным. Положительные (отрицательные) множества образуют s– алгебру.

Теорема 1. Для любого заряда n, заданного на s-алгебре существуют такие непересекающиеся множества и , что , где – положительное, – отрицательное множества.

Следствие. Для любого заряда n существуют меры m₁ и m₂, обладающие свойством , называемым сингулярностью, что

Рассмотрим подробнее заряды на s-алгебре, порожденной полуинтервалами на отрезке . Каждому заряду n (как и мере) поставим в соответствие функцию g. Опишем класс функций на , которые соответствуют зарядам. Построение заряда аналогично построению меры Лебега-Стилтьеса по неубывающей функции.

Функция называется функцией ограниченной вариации (ограниченного изменения), если существует , что для любого разбиения отрезка справедливо неравенство

Наименьшая из констант c, при которых справедливо неравенство, называется вариацией функции g на и обозначается . По определению

,

где верхняя грань берется по множеству разбиений.